3^{a} ) Qual é a definição de divergência do campo elétrico e como ela se relaciona com as fontes de carga elétrica?

Passo 1

O enunciado pede a definição matemática e a interpretação física da divergência do campo elétrico, além de relacioná-la com as fontes de carga elétrica. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial (operador divergente) e a lei de Gauss no formulário diferencial.

Passo 2

A divergência de um campo vetorial \mathbf{E}(x,y,z) em coordenadas cartesianas é definida por
\nabla\!\cdot\mathbf{E} =\frac{\partial E_x}{\partial x} +\frac{\partial E_y}{\partial y} +\frac{\partial E_z}{\partial z}\,,
onde E_x,E_y,E_z são as componentes de \mathbf{E}.

Passo 3

Fisicamente, \nabla\!\cdot\mathbf{E} mede a taxa líquida de “saída” de linhas de campo por unidade de volume em cada ponto. Se a divergência for positiva, há mais linhas saindo (fonte); se for negativa, mais linhas entrando (sumidouro).

Passo 4

A relação entre divergência de \mathbf{E} e densidade de carga \rho vem da lei de Gauss na forma diferencial:
\nabla\!\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}\,,
onde \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo.

Passo 5

Dessa expressão vemos que regiões onde \rho>0 atuam como fontes (divergência positiva) e regiões onde \rho<0 atuam como sumidouros (divergência negativa) de campo elétrico.

Resposta

\displaystyle \nabla\!\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}, ou seja, a divergência do campo elétrico em um ponto é proporcional à densidade de carga nesse ponto, caracterizando fontes (cargas positivas) e sumidouros (cargas negativas).

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