2^{a} ) Dado o vetor \vec{F}=x^{2} y \hat{\mathbf{i}}-\left(z^{3}-3 x\right) \hat{\mathbf{j}}+4 y^{2} \hat{\mathbf{k}}. Calcule \vec{\nabla} \times \vec{F} sabendo que \vec{\nabla}=\frac{\partial}{\partial x} \hat{\mathbf{i}}+\frac{\partial}{\partial y} \hat{\mathbf{j}}+\frac{\partial}{\partial z} \hat{\mathbf{k}}.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o rotacional (curl) do campo vetorial \vec{F}=x^{2}y\,\hat{\mathbf{i}}-\bigl(z^{3}-3x\bigr)\,\hat{\mathbf{j}}+4y^{2}\,\hat{\mathbf{k}}
usando o operador \vec{\nabla}=\frac{\partial}{\partial x}\,\hat{\mathbf{i}}+\frac{\partial}{\partial y}\,\hat{\mathbf{j}}+\frac{\partial}{\partial z}\,\hat{\mathbf{k}}.
O assunto é cálculo vetorial, mais precisamente o conceito de rotacional de um campo em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Identificamos as componentes do campo \vec{F}=(P,Q,R) onde P=x^{2}y,\quad Q=-\bigl(z^{3}-3x\bigr)=-z^{3}+3x,\quad R=4y^{2}.
Passo 3
Vamos usar a fórmula do rotacional em forma de determinante: