2^{a} ) Dado o vetor \vec{F}=x^{2} y \hat{\mathbf{i}}-\left(z^{3}-3 x\right) \hat{\mathbf{j}}+4 y^{2} \hat{\mathbf{k}}. Calcule \vec{\nabla} \times \vec{F} sabendo que \vec{\nabla}=\frac{\partial}{\partial x} \hat{\mathbf{i}}+\frac{\partial}{\partial y} \hat{\mathbf{j}}+\frac{\partial}{\partial z} \hat{\mathbf{k}}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o rotacional (curl) do campo vetorial
\vec{F}=x^{2}y\,\hat{\mathbf{i}}-\bigl(z^{3}-3x\bigr)\,\hat{\mathbf{j}}+4y^{2}\,\hat{\mathbf{k}}
usando o operador
\vec{\nabla}=\frac{\partial}{\partial x}\,\hat{\mathbf{i}}+\frac{\partial}{\partial y}\,\hat{\mathbf{j}}+\frac{\partial}{\partial z}\,\hat{\mathbf{k}}.
O assunto é cálculo vetorial, mais precisamente o conceito de rotacional de um campo em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Identificamos as componentes do campo
\vec{F}=(P,Q,R) onde
P=x^{2}y,\quad Q=-\bigl(z^{3}-3x\bigr)=-z^{3}+3x,\quad R=4y^{2}.

Passo 3

Vamos usar a fórmula do rotacional em forma de determinante:
\vec{\nabla}\times\vec{F} =\begin{vmatrix} \hat{\mathbf{i}} & \hat{\mathbf{j}} & \hat{\mathbf{k}}\\\ \displaystyle\frac{\partial}{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial}{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\\\ P & Q & R \end{vmatrix}.

Passo 4

Calculamos a componente na direção \hat{\mathbf{i}}:
(\nabla\times F)_{x} =\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} =\frac{\partial(4y^{2})}{\partial y}-\frac{\partial(-z^{3}+3x)}{\partial z} =8y-(-3z^{2}) =8y+3z^{2}.

Passo 5

Calculamos a componente na direção \hat{\mathbf{j}}:
(\nabla\times F)_{y} =\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x} =\frac{\partial(x^{2}y)}{\partial z}-\frac{\partial(4y^{2})}{\partial x} =0-0 =0.

Passo 6

Calculamos a componente na direção \hat{\mathbf{k}}:
(\nabla\times F)_{z} =\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial(-z^{3}+3x)}{\partial x}-\frac{\partial(x^{2}y)}{\partial y} =3 - x^{2}.

Passo 7

Reunindo as três componentes, obtemos
\vec{\nabla}\times\vec{F} =(8y+3z^{2})\,\hat{\mathbf{i}}+0\,\hat{\mathbf{j}}+(3-x^{2})\,\hat{\mathbf{k}}.

Resposta

\vec{\nabla}\times\vec{F} =(8y+3z^{2})\,\hat{\mathbf{i}}+(3-x^{2})\,\hat{\mathbf{k}}.

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