Uma determinada quantidade de ar entra em regime permanente em um bocal adiabático a 300 kPa, 200 °C e 45 m/s e sai a 100 kPa e 180 m/s. A área na entrada do bocal é de 110 cm². Determine:
a. O fluxo de massa no bocal,
b. A temperatura de saída do ar,
c. A área na saída do bocal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o fluxo de ar em um bocal adiabático! A questão envolve conceitos de termodinâmica e mecânica dos fluidos. Precisaremos usar a equação de continuidade para o fluxo de massa, a primeira lei da termodinâmica para encontrar a temperatura de saída, e novamente a equação de continuidade para calcular a área na saída. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o fluxo de massa no bocal. Para isso, usamos a equação de continuidade, que basicamente diz que o fluxo de massa deve ser constante em um sistema em regime permanente.
A equação de continuidade é:
dotm = rho cdot A cdot v
Onde:
  • dotm é o fluxo de massa,
  • rho é a densidade do ar,
  • A é a área da seção transversal,
  • v é a velocidade do ar.
Mas antes de usar essa fórmula, precisamos encontrar a densidade do ar na entrada. Podemos usar a equação dos gases ideais:
P = rho cdot R cdot T
Rearranjando para encontrar rho:
rho = PR cdot T
Onde:
  • P é a pressão,
  • R é a constante dos gases para o ar (aproximadamente 287 , J/(kg·K)),
  • T é a temperatura em Kelvin.
Vamos converter a temperatura de entrada de °C para K:
T1 = 200,°C + 273 = 473,K
Agora, calculamos a densidade na entrada:
rho1 = 300,000,Pa287,J/(kg·K) times 473,K approx 2.22,kg/m^3
Agora usamos a equação de continuidade para encontrar o fluxo de massa:
dotm = 2.22,kg/m^3 times 0.011,m^2 times 45,m/s approx 1.11,kg/s

Passo 3

Agora, vamos encontrar a temperatura de saída do ar. Como o bocal é adiabático, não há troca de calor ( Q = 0), e podemos aplicar a primeira lei da termodinâmica para fluxo estacionário:
dotQ - dotW = dotm(h2 - h1) + dotm2(v2^2 - v1^2)
Como Q = 0 e não há trabalho ( W = 0):
0 = dotm(h2 - h1) + dotm2(v2^2 - v1^2)
Podemos simplificar dividindo por dotm:
0 = h2 - h1 + 12(v2^2 - v1^2)
Rearranjando para encontrar h2:
h2 = h1 - 12(v2^2 - v1^2)
Assumindo que o ar se comporta como um gás ideal, a entalpia ( h) está relacionada à temperatura:
h = cp T
Onde cp é a capacidade calorífica a pressão constante ( cp approx 1005,J/(kg·K)).
Substituindo na equação:
cp T2 = cp T1 - 12(v2^2 - v1^2)
Cancelando cp:
T2 = T1 - v2^2 - v1^22 cp
Agora, substituindo os valores:
T2 = 473,K - 180^2 - 45^22 times 1005 approx 473,K - 32400 - 20252010 approx 473,K - 303752010 approx 473,K - 15.12,K approx 457.88,K
Convertendo para °C:
457.88,K - 273 approx 184.88,°C

Passo 4

Por fim, vamos calcular a área na saída do bocal. Novamente, usamos a equação de continuidade, mas agora precisamos considerar a densidade na saída.
Primeiro, encontramos a densidade na saída usando a equação dos gases ideais:
rho2 = P2R cdot T2
Substituindo os valores:
rho2 = 100,000,Pa287,J/(kg·K) times 457.88,K approx 0.76,kg/m^3
Agora, aplicamos a equação de continuidade para encontrar a área de saída:
A2 = dotmrho2 cdot v2 = 1.11,kg/s0.76,kg/m^3 times 180,m/s approx 0.0081,m^2
Convertendo para cm²:
0.0081,m^2 times 10,000 approx 81,cm^2

Resposta

a. O fluxo de massa no bocal é aproximadamente 1,11 kg/s.
b. A temperatura de saída do ar é cerca de 185 °C.
c. A área na saída do bocal é aproximadamente 81 cm².

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