Elabore um problema que possa ser resolvido por um dos sistemas a seguir. Em seguida, resolva-os e responda: esses sistemas têm o mesmo conjunto solução? [2x-y=5 x+y=7 |-x+5y=11 3x-y=9
Passo 1
Vamos resolver um exercício envolvendo sistemas de equações lineares. Precisamos elaborar um problema que possa ser resolvido por um dos sistemas apresentados, resolver os dois sistemas e verificar se eles têm o mesmo conjunto de soluções. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, como substituição e eliminação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos elaborar um problema para o primeiro sistema:
Problema:
João e Maria estão vendendo livros usados. João vende 2 livros e ganha R$5 a mais do que o preço de venda de cada livro. Maria vende 1 livro e ganha R$7 a menos do que o preço de venda de cada livro. Juntos, eles vendem 3 livros e ganham R$12. Quais são os preços de venda dos livros de João e Maria?
João e Maria estão vendendo livros usados. João vende 2 livros e ganha R$5 a mais do que o preço de venda de cada livro. Maria vende 1 livro e ganha R$7 a menos do que o preço de venda de cada livro. Juntos, eles vendem 3 livros e ganham R$12. Quais são os preços de venda dos livros de João e Maria?
Vamos representar:
- $ x $: preço de venda de cada livro de João.
- $ y $: preço de venda de cada livro de Maria.
As equações serão:
Resolução:
Vamos resolver o sistema usando o método da substituição.
- Da segunda equação:
- Substituímos $ x $ na primeira equação:
- Agora, encontramos $ x $:
Então, João vende cada livro por R$4 e Maria por R$3.
Passo 3
Agora, vamos elaborar um problema para o segundo sistema:
Problema:
Carlos e Ana estão comprando frutas. Carlos compra 1 unidade de uma fruta e 5 unidades de outra, gastando R$11. Ana compra 3 unidades da primeira fruta e 1 unidade da segunda, gastando R$9. Quanto custa cada tipo de fruta?
Carlos e Ana estão comprando frutas. Carlos compra 1 unidade de uma fruta e 5 unidades de outra, gastando R$11. Ana compra 3 unidades da primeira fruta e 1 unidade da segunda, gastando R$9. Quanto custa cada tipo de fruta?
Vamos representar:
- $ x $: preço de cada unidade da primeira fruta.
- $ y $: preço de cada unidade da segunda fruta.
As equações serão:
Resolução:
Vamos resolver o sistema usando o método da eliminação.
- Vamos multiplicar a segunda equação por 5 para facilitar a eliminação de $ y $:
- Agora, somamos com a primeira equação:
- Substituímos $ x $ na segunda equação original:
Então, a primeira fruta custa R$4 e a segunda custa R$3.
Passo 4
Agora, vamos verificar se os sistemas têm o mesmo conjunto de soluções:
- No primeiro sistema, encontramos $ x = 4 $ e $ y = 3 $.
- No segundo sistema, também encontramos $ x = 4 $ e $ y = 3 $.
Resposta
Sim, os dois sistemas têm o mesmo conjunto solução: $ x = 4 $ e $ y = 3 $.