Determinada reação possui k 0,5 S^{-}para a temperatura de 100^{\circ} \mathrm{C} e k =0,82 S^{-} para a temperatura 150^{\circ} \mathrm{C}. De acordo com os dados pede-se:
a. Determine a energia de Ativação da reação.
b. Determine a temperatura da reação quando \mathrm{k}=0,7 S^{-}.

Passo 1

O enunciado fornece dois valores da constante de velocidade e pede (a) a energia de ativação e (b) a temperatura quando k=0,7\\ \text{s}^{-1}.
Dados fornecidos (peguei os números do enunciado):
  • Para T_1=100^\circ\text{C}, k_1=0,5\\ \text{s}^{-1}.
  • Para T_2=150^\circ\text{C}, k_2=0,82\\ \text{s}^{-1}.
  • Pedidos:
    • (a) Determinar a energia de ativação E_a da reação.
    • (b) Determinar a temperatura (em ^\circ\text{C}) para a qual k=0,7\\ \text{s}^{-1}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação passo a passo):
  • A lei de Arrhenius relaciona a constante de velocidade k com a temperatura T assim:
k = A \exp\!\left(-\dfrac{E_a}{R T}\right),
onde:
  • k é a constante de velocidade (aqui em \text{s}^{-1}),
  • A é o fator pré-exponencial (ou frequência),
  • E_a é a energia de ativação (em \text{J}\,\text{mol}^{-1}),
  • R é a constante dos gases ideais ( R=8,314\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}\,\text{K}^{-1}),
  • T é a temperatura absoluta (em K).
  • Tomando logaritmo natural na expressão obtemos uma forma linear:
\ln k = \ln A - \dfrac{E_a}{R}\cdot \dfrac{1}{T}.
Isso significa que, com dois pares (k,T), podemos eliminar A e calcular E_a por:
\ln\!\left(\dfrac{k_2}{k_1}\right) = -\dfrac{E_a}{R}\left(\dfrac{1}{T_2}-\dfrac{1}{T_1}\right).
Isolando E_a fica mais prático escrever:
E_a = R\cdot \dfrac{\ln\!\left(\dfrac{k_2}{k_1}\right)}{\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2}}.
Vou usar essa última fórmula porque evita sinais confusos.

Passo 3

Primeiro passo prático: converter temperaturas para Kelvin (sempre usar K na fórmula de Arrhenius).
  • T_1 = 100^\circ\text{C} = 100 + 273,15 = 373,15\\ \text{K}.
  • T_2 = 150^\circ\text{C} = 150 + 273,15 = 423,15\\ \text{K}.

Passo 4

Cálculo de E_a com os dados:
  • Calcular o quociente das constantes e seu logaritmo natural:
\ln\!\left(\dfrac{k_2}{k_1}\right) = \ln\!\left(\dfrac{0,82}{0,5}\right) = \ln(1,64)\approx 0,494296.
  • Calcular a diferença \dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2}:
\dfrac{1}{T_1} = \dfrac{1}{373,15}\approx 0,002678101\\ \text{K}^{-1}, \qquad \dfrac{1}{T_2} = \dfrac{1}{423,15}\approx 0,002363058\\ \text{K}^{-1},
\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2}\approx 0,000315043\\ \text{K}^{-1}.
  • Aplicar a fórmula de E_a:
E_a = 8,314\cdot \dfrac{0,494296}{0,000315043}\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}.
  • Calcular numericamente:
8,314\times 0,494296 \approx 4,1089, \qquad E_a \approx \dfrac{4,1089}{0,000315043}\approx 13044\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}.
  • Converter para unidades mais usuais:
E_a \approx 13,0\\ \text{kJ}\,\text{mol}^{-1}.
Portanto a energia de ativação é aproximadamente 13,0\\ \text{kJ}\,\text{mol}^{-1}.

Passo 5

Agora determinar a temperatura para a qual k=0,7\\ \text{s}^{-1}.
Duas maneiras: (i) calcular A e depois usar Arrhenius, ou (ii) usar diretamente a relação entre pares (k,T) para eliminar A. Vou usar a forma que elimina A (mais direta):
\ln\!\left(\dfrac{k_3}{k_1}\right) = -\dfrac{E_a}{R}\left(\dfrac{1}{T_3}-\dfrac{1}{T_1}\right).
Isolando \dfrac{1}{T_3}:
\dfrac{1}{T_3} = \dfrac{1}{T_1} - \dfrac{R}{E_a}\ln\!\left(\dfrac{k_3}{k_1}\right),
onde k_3=0,7\\ \text{s}^{-1}. Vou calcular passo a passo.

Passo 6

Cálculo numérico para T_3:
  • Calcular o logaritmo:
\ln\!\left(\dfrac{k_3}{k_1}\right) = \ln\!\left(\dfrac{0,7}{0,5}\right) = \ln(1,4)\approx 0,336472.
  • Calcular \dfrac{R}{E_a}:
\dfrac{R}{E_a} = \dfrac{8,314\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}\,\text{K}^{-1}}{13044\\ \text{J}\,\text{mol}^{-1}} \approx 0,0006373\\ \text{K}^{-1}.
  • Multiplicar:
\dfrac{R}{E_a}\ln\!\left(\dfrac{k_3}{k_1}\right) \approx 0,0006373 \times 0,336472 \approx 0,0002145\\ \text{K}^{-1}.
  • Calcular 1/T_3:
\dfrac{1}{T_3} = 0,002678101 - 0,0002145 \approx 0,0024636\\ \text{K}^{-1}.
  • Inverter para obter T_3:
T_3 \approx \dfrac{1}{0,0024636}\approx 405,8\\ \text{K}.
  • Converter para graus Celsius:
T_3 \approx 405,8 - 273,15 \approx 132,7^\circ\text{C}.

Passo 7

Verificação rápida de coerência (sanidade):
  • O valor de k=0,7\\ \text{s}^{-1} está entre k_1=0,5\\ \text{s}^{-1} (a 100^\circ\text{C}) e k_2=0,82\\ \text{s}^{-1} (a 150^\circ\text{C}). Portanto a temperatura que encontramos deve estar entre 100^\circ\text{C} e 150^\circ\text{C}. O resultado 132,7^\circ\text{C} está dentro desse intervalo, o que dá confiança numérica no cálculo.

Resposta

(a) E_a \approx 13,0\\ \text{kJ}\,\text{mol}^{-1}
(b) T \approx 132,7^\circ\text{C}

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