Uma regra que, embora aproximada, é muito utilizada em laboratórios onde se realizam reações orgânicas em fase líquida, diz que "a velocidade da reação aumenta ao dobro ao aumentar-se a temperatura da reação em 10^{\circ} \mathrm{C}^{\prime \prime}. Qual é o valor da energia de ativação das reações que seguem essa regra, a partir da temperatura ambiente \left(23^{\circ} \mathrm{C}\right) ?

Passo 1

O enunciado diz que, aproximadamente, ao aumentar a temperatura em 10^\circ\mathrm{C} a velocidade da reação dobra. Pede-se o valor da energia de ativação dessa regra, tomando como temperatura ambiente 23^\circ\mathrm{C}.
Informações dadas:
  • Fator de aumento da velocidade: \dfrac{k_2}{k_1}=2.
  • Temperatura inicial (ambiente): 23^\circ\mathrm{C}.
  • A variação de temperatura considerada é de 10^\circ\mathrm{C}, logo a temperatura final é 33^\circ\mathrm{C}.
O que precisa ser encontrado:
  • A energia de ativação E_a que torna compatível a lei de Arrhenius com o fato de k_2/k_1=2 ao passar de 23^\circ\mathrm{C} para 33^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Apresentar a fórmula que vamos usar: a equação de Arrhenius. Ela relaciona a constante de velocidade k com a temperatura T:
k = A \, e^{-E_a/(R T)},
onde:
  • k é a constante de velocidade da reação (unidade dependente da ordem da reação),
  • A é o fator pré-exponencial (constante),
  • E_a é a energia de ativação (em \mathrm{J\\ mol^{-1}}),
  • R é a constante dos gases ideais, R=8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}},
  • T é a temperatura absoluta em kelvin ( \mathrm{K}).
Explicação didática rápida: a equação mostra que a taxa depende exponencialmente de -E_a/(R T). Se E_a for maior, a variação de k com T é mais sensível; se E_a for pequena, k muda pouco com T.

Passo 3

Usar a razão das constantes de velocidade em duas temperaturas T_1 e T_2. Da equação de Arrhenius temos:
\frac{k_2}{k_1} = \frac{A e^{-E_a/(R T_2)}}{A e^{-E_a/(R T_1)}} = e^{-E_a/R \,(1/T_2 - 1/T_1)}.
Tomando logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{k_2}{k_1}\right) = -\frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right).
Reorganizando para E_a:
E_a = \frac{R\ln\!\left(\dfrac{k_2}{k_1}\right)}{\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2}}.
Podemos reescrever de forma conveniente:
E_a = \frac{R\,T_1\,T_2\;\ln 2}{T_2-T_1},
pois \ln(k_2/k_1)=\ln 2 e \dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2}=\dfrac{T_2-T_1}{T_1T_2}.

Passo 4

Converter temperaturas de Celsius para Kelvin e substituir os números:
  • T_1 = 23^\circ\mathrm{C} = 23 + 273 = 296\\ \mathrm{K}.
  • T_2 = 33^\circ\mathrm{C} = 33 + 273 = 306\\ \mathrm{K}.
  • T_2-T_1 = 10\\ \mathrm{K}.
  • R = 8{,}314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}.
  • \ln 2 \approx 0{,}693147.
Substituindo na fórmula:
E_a = \frac{8{,}314 \times 296 \times 306 \times 0{,}693147}{10}.

Passo 5

Fazer as contas passo a passo (tudo em unidades do SI, resultado em \mathrm{J\\ mol^{-1}}):
Calcular o produto das temperaturas:
T_1 T_2 = 296 \times 306 = 90\,576\\ \mathrm{K^2}.
Calcular R\ln 2:
R\ln 2 \approx 8{,}314 \times 0{,}693147 \approx 5{,}7628\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}.
Multiplicar:
R\ln 2 \times T_1 T_2 \approx 5{,}7628 \times 90\,576 \approx 522\,000\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}} \\ (\text{valor intermediário}).á
Dividir por T_2-T_1=10:
E_a \approx \frac{522\,000}{10} \approx 52\,200\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}}.
Converter para quilojoule por mol:
E_a \approx 52{,}2\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}.
(Arredondamento: manutenção de 3 algarismos significativos é suficiente para esta estimativa aproximada.)

Passo 6

Interpretação final curta e encorajadora: o valor calculado é uma estimativa consistente com a regra prática dada. Ela significa que, para reações com energia de ativação cerca de 52{,}2\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}, um aumento de 10^\circ\mathrm{C} na faixa ao redor de 23^\circ\mathrm{C} dobra aproximadamente a velocidade. A regra é aproximada; reações com E_a maiores mudarão menos que o dobro, e com E_a menores mudarão mais.

Resposta

E_a \approx 52{,}2\\ \mathrm{kJ\\ mol^{-1}}

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