Em uma determinada região do espaço o campo elétrico é dado, em coordenadas esféricas, por E=kappa r^3 r, onde kappa é uma constante. Qual é a densidade de carga rho na região?
rho=5 kappa epsilon0 r^2
C rho=10 kappa epsilon0 r^2
E rho=4 pi kappa epsilon0 r^2
B rho=5 pi kappa epsilon0 r^2
D rho=10 pi kappa epsilon0 r^2

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que em certa região o campo elétrico, em coordenadas esféricas, é
E = kappa , r^3 ,hat r
e a gente precisa achar a densidade de carga rho(r).
Conteúdo envolvido: a Lei de Gauss na forma diferencial, ou seja
nablacdot E = rhovarepsilon0
e o cálculo da divergência em coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, lembra que em coordenadas esféricas só com componente radial Er(r), a divergência é
nablacdot E = 1r^2,ddrl(r^2 Er(r)r)
Isso vem da definição geral de divergência adaptada pra esférico. Aqui Er(r)=kappa,r^3.

Passo 3

Agora a gente pluga Er(r) nessa fórmula:
  1. Calcula r^2 Er(r) = r^2l(kappa,r^3r) = kappa,r^5.
  2. Deriva em relação a r:
ddrl(kappa,r^5r) = 5,kappa,r^4
  1. Divide por r^2:
nablacdot E = 1r^2,5,kappa,r^4 = 5,kappa,r^2

Resposta

Usando nablacdotE=rho/varepsilon0, obtemos
rho(r) = varepsilon0;5,kappa,r^2 = 5,kappa,varepsilon0,r^2

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