Em uma determinada região do espaço o campo elétrico é dado, em coordenadas esféricas, por E=kappa r^2 r, onde kappa é uma constante. Qual é a densidade de carga rho na região?
rho=4 kappa epsilon0 r
C rho=4 pi kappa epsilon0 r
rho=pi kappa epsilon0 r
B rho=2 pi kappa epsilon0 r
D rho=kappa epsilon0 r

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que num certo ponto do espaço o campo elétrico é
E = kappa,r^2,r
(em coordenadas esféricas) e a gente precisa descobrir qual é a densidade de carga nessa região.
Conteúdo: usaremos a Lei de Gauss no formato diferencial (equação de Maxwell–Gauss) e a fórmula do divergente em coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, lembra da Lei de Gauss em forma pontual (diferencial):
nablacdotE ;=;rhovarepsilon0
Ou seja, se a gente consegue calcular , basta multiplicar por para achar .

Passo 3

Agora, o truque é usar a expressão do divergente pra um campo radial em coordenadas esféricas. Se nablacdotE =1r^2,ddrl(r^2,Er(r)r) , então
No nosso caso .

Passo 4

Vamos calcular passo a passo:
  1. Dentro da derivada: ddr(kappa,r^4) =4,kappa,r^3 .
  2. Derivando em relação a nablacdotE =1r^2l(4,kappa,r^3r) =4,kappa,r :
rho = varepsilon0,(nablacdotE) = varepsilon0,(4,kappa,r) =4,kappa,varepsilon0,r
  1. Dividindo por :
Então, pela Lei de Gauss:

Resposta

.

Exercícios relacionados