Em uma determinada região do espaço o campo elétrico é dado, em coordenadas esféricas, por
, onde
é uma constante. Qual é a densidade de carga
na região?
C
B
D
C
B
D
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que num certo ponto do espaço o campo elétrico é
(em coordenadas esféricas) e a gente precisa descobrir qual é a densidade de carga
nessa região.
Conteúdo: usaremos a Lei de Gauss no formato diferencial (equação de Maxwell–Gauss) e a fórmula do divergente em coordenadas esféricas.
Conteúdo: usaremos a Lei de Gauss no formato diferencial (equação de Maxwell–Gauss) e a fórmula do divergente em coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, lembra da Lei de Gauss em forma pontual (diferencial):
Ou seja, se a gente consegue calcular
, basta multiplicar por
para achar
.
Passo 3
Agora, o truque é usar a expressão do divergente pra um campo radial em coordenadas esféricas. Se
, então
No nosso caso
.
Passo 4
Vamos calcular passo a passo:
- Dentro da derivada:
. - Derivando em relação a
:
- Dividindo por
:
Então, pela Lei de Gauss: