Uma força de atrito
sempre aponta na direção oposta ao deslocamento infinitesimal dr. Mostre que esse tipo de força não pode ser conservativo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que uma força de atrito
, que em cada instante aponta exatamente na direção oposta ao deslocamento infinitesimal
, não pode ser conservativa.
Conteúdo: trabalho de uma força, definição de força conservativa (trabalho de linha independente do caminho ou integral nula em loop).
Conteúdo: trabalho de uma força, definição de força conservativa (trabalho de linha independente do caminho ou integral nula em loop).
Passo 2
Definição de força conservativa:
Uma força é conservativa se, para qualquer curva
que vá de um ponto
a um ponto
, o trabalho
Uma força
depende apenas de
e
, não do trajeto escolhido. Equivalente: para qualquer caminho fechado
,
Passo 3
Expressão do trabalho infinitesimal da força de atrito. Seja
a coordenada de comprimento ao longo da trajetória, com vetor unitário
na direção do deslocamento. Então
onde
é módulo da força de atrito (por exemplo
). O elemento de deslocamento é
. Logo, o trabalho elementar é
Passo 4
Integramos de
a
:
onde
é o comprimento do caminho de
a
. Como
depende do trajeto, o trabalho também depende do trajeto. Em particular, num caminho fechado de comprimento
,
Passo 5
Conclusão: o trabalho da força de atrito depende do caminho (e seu loop não é nulo), logo não existe potencial
tal que
. Portanto, a força de atrito não é conservativa.
Resposta
A força de atrito não é conservativa, pois o trabalho
depende do comprimento do caminho percorrido e não se anula em trajetórias fechadas.