Uma força de atrito F at sempre aponta na direção oposta ao deslocamento infinitesimal dr. Mostre que esse tipo de força não pode ser conservativo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que uma força de atrito vec Fat, que em cada instante aponta exatamente na direção oposta ao deslocamento infinitesimal dvec r, não pode ser conservativa.
Conteúdo: trabalho de uma força, definição de força conservativa (trabalho de linha independente do caminho ou integral nula em loop).

Passo 2

Definição de força conservativa:
Uma força vec F é conservativa se, para qualquer curva C que vá de um ponto A a um ponto B, o trabalho
WAto B=integralCvec Fcdotdvec r
depende apenas de A e B, não do trajeto escolhido. Equivalente: para qualquer caminho fechado Cfechado,
ointCfechadovec Fcdotdvec r = 0

Passo 3

Expressão do trabalho infinitesimal da força de atrito. Seja s a coordenada de comprimento ao longo da trajetória, com vetor unitário hat t na direção do deslocamento. Então
vec Fat = -f,hat t,
onde f>0 é módulo da força de atrito (por exemplo f=mu N). O elemento de deslocamento é dvec r = hat t,ds. Logo, o trabalho elementar é
dW = vec Fatcdotdvec r = (-f,hat t)cdot(hat t,ds) = -f,ds

Passo 4

Integramos de A a B:
WAto B = integralA^BdW = integralA^B(-f,ds) = -fintegralA^Bds = -f,LAB,
onde LAB é o comprimento do caminho de A a B. Como LAB depende do trajeto, o trabalho também depende do trajeto. Em particular, num caminho fechado de comprimento L,
Wfechado = -f,L neq 0

Passo 5

Conclusão: o trabalho da força de atrito depende do caminho (e seu loop não é nulo), logo não existe potencial V(vec r) tal que vec Fat=-nabla V. Portanto, a força de atrito não é conservativa.

Resposta

A força de atrito não é conservativa, pois o trabalho integralvec Fatcdotdvec r depende do comprimento do caminho percorrido e não se anula em trajetórias fechadas.

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