Um projétil no plano xy , com y apontando para cima e x um eixo horizontal, é disparado com uma velocidade inicial de módulo igual
e com um ângulo igual a
em relação ao eixo
horizontal. Se há uma força de atrito linear entre o ar e o projétil dada por:
, determine, em função do ângulo
, b e de t: a) As equações de movimento para
e para
, se
e
. b) Faça a seguinte expansão quadrática aproximada:
, e escreva as soluções aproximadas
e
para este caso.
Passo 1
Estamos tratando de um projétil lançado no plano
sob a ação da gravidade (aceleração
para baixo) e de uma força de atrito linear
O objetivo é obter as trajetórias
e
com as condições iniciais
e
, onde
e
.
Para isso vamos resolver as duas EDOs lineares de primeira ordem que surgem para as componentes de e depois integrar para obter
e
.
Para isso vamos resolver as duas EDOs lineares de primeira ordem que surgem para as componentes de
Passo 2
Componente
: a segunda lei de Newton dá
Resolva separando variáveis ou reconhecendo que é linear homogênea:
Integrando em
para achar
:
Passo 3
Componente
: agora
Usando fator integrante
, obtemos
logo
Integre para
:
Passo 4
Substituindo
e
, as soluções completas são
Passo 5
Para obter as soluções aproximadas, use
Em
isso dá
e em
Substituindo de novo
e
obtemos
Resposta
a)
b)