Um projétil no plano xy , com y apontando para cima e x um eixo horizontal, é disparado com uma velocidade inicial de módulo igual a v0 e com um ângulo igual a theta em relação ao eixo x horizontal. Se há uma força de atrito linear entre o ar e o projétil dada por: F=-b v, determine, em função do ângulo theta, b e de t: a) As equações de movimento para x(t) e para y(t), se r(0)=(x0, y0) e v(0)=(v0 x, v0 y). b) Faça a seguinte expansão quadrática aproximada: e^a t approx 1+a t+a^2 t^22, e escreva as soluções aproximadas x aprox (t) e y aprox (t) para este caso.

Passo 1

Estamos tratando de um projétil lançado no plano xy sob a ação da gravidade (aceleração g para baixo) e de uma força de atrito linear
vec Fatrito=-b,vec v,
O objetivo é obter as trajetórias x(t) e y(t) com as condições iniciais
vec r(0)=(x0,y0) e vec v(0)=(v0x,v0y), onde v0x=a,v0costheta e v0y=a,v0sintheta.
Para isso vamos resolver as duas EDOs lineares de primeira ordem que surgem para as componentes de vec v e depois integrar para obter x(t) e y(t).

Passo 2

Componente x: a segunda lei de Newton dá
m,dvxdt=-b,vxLongrightarrowdvxdt+bmvx=0
Resolva separando variáveis ou reconhecendo que é linear homogênea:
vx(t)=v0x,e^-tfracbmt
Integrando em t para achar x(t):
x(t)=x0+integral0^t vx(t'),dt' =x0+v0xintegral0^t e^-tfracbmt'dt' =x0+m,v0xbl(1-e^-tfracbmtr)

Passo 3

Componente y: agora
m,dvydt=-b,vy - m,g Longrightarrow dvydt+bmvy=-g
Usando fator integrante mu(t)=e^tfracbmt, obtemos
vy(t),e^tfracbmt =;v0y+ integral0^t(-g),e^tfracbmt'dt' =v0y-m,gbl(e^tfracbmt-1r),
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vy(t) =l(v0y+tfracm,gbr)e^-tfracbmt-tfracm,gb
Integre para y(t):
y(t)=y0+integral0^t vy(t'),dt' =y0+mbl(v0y+tfracm,gbr)l(1-e^-tfracbmtr) -m,gb,t

Passo 4

Substituindo v0x=a,v0costheta e v0y=a,v0sintheta, as soluções completas são
boxed x(t)=x0+m,a,v0costhetabl(1-e^-tfracbmtr),
boxed y(t)=y0+mbl(a,v0sintheta+tfracm,gbr)l(1-e^-tfracbmtr) -m,gb,t

Passo 5

Para obter as soluções aproximadas, use
e^-tfracbmtapprox 1-bmt+b^22m^2t^2
Em x(t) isso dá
xrm aprox(t) =x0+m,v0xbl[l(tfracbmt-tfracb^22m^2t^2r)r] =x0+v0x,t-b,v0x2m,t^2
e em y(t)
yrm aprox(t) =y0+l(v0y+tfracm,gbr)l(t-tfracb2mt^2r) -m,gbt =y0+v0y,t-g2t^2-b,v0y2mt^2
Substituindo de novo v0x=a,v0costheta e v0y=a,v0sintheta obtemos
boxed xrm aprox(t)=x0+a,v0costheta,t-b,a,v0costheta2m,t^2,
boxed yrm aprox(t)=y0+a,v0sintheta,t-g2t^2-b,a,v0sintheta2m,t^2

Resposta

a)
x(t)=x0+m,a,v0costhetabl(1-e^-tfracbmtr), y(t)=y0+mbl(a,v0sintheta+tfracm,gbr)l(1-e^-tfracbmtr) -m,gb,t
b)
xrm aprox(t)=x0+a,v0costheta,t-b,a,v0costheta2m,t^2, yrm aprox(t)=y0+a,v0sintheta,t-g2t^2-b,a,v0sintheta2m,t^2

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