Uma determinada suspensão foi filtrada em um filtro folha piloto sob vazão constante (
) com similar meio filtrante mas com
da área de filtração do filtro industrial. Após 625 s a queda de pressão através do líquido foi de 360 m de coluna de água e, em 480 s adicionais, a queda de pressão subiu para 600 m de coluna de água no filtro piloto. A relação entre vazão e carga de uma determinada bomba que será utilizada na operação industrial pode ser representada por uma linha reta, onde a vazão máxima (carga nula) é de
e a carga máxima (vazão nula) é de 760 m de coluna de água. Quanto tempo irá demorar para o sistema industrial produzir
de filtrado? (t=855 s)
Passo 1
Beleza, aqui vai o resumo da parada: temos um filtro “piloto” (área pequena) que filtrou com vazão constante Qₚ = 0,00015 m³/s. Medimos a perda de carga através do sistema (meio + bolo) em dois instantes:
- em t₁ = 625 s, Δh₁ = 360 m
- em t₂ = 625 + 480 = 1105 s, Δh₂ = 600 m
Com isso a gente usa a Lei de Darcy pra dizer que Δhₚ(t) = h₀ + a·t (intercepto h₀ = resistência do meio, a = taxa de aumento por bolo).
Depois, escalo pro filtro industrial (10× a área do piloto) e junto com a curva da bomba (reta que vai de H=760 m em Q=0 até Q=0,0015 m³/s em H=0) a gente monta um balanço: “perda de carga do filtro = carga que a bomba dá”. Como a vazão vai caindo ao longo do tempo, vira aquela integral pra saber quanto tempo leva pra filtrar V = 1 m³.
Depois, escalo pro filtro industrial (10× a área do piloto) e junto com a curva da bomba (reta que vai de H=760 m em Q=0 até Q=0,0015 m³/s em H=0) a gente monta um balanço: “perda de carga do filtro = carga que a bomba dá”. Como a vazão vai caindo ao longo do tempo, vira aquela integral pra saber quanto tempo leva pra filtrar V = 1 m³.
Conteúdo da matéria:
- Lei de Darcy em filtração (resistência de meio e de bolo)
- Escalonamento de área
- Curva característica de bomba (reta Q×H)
- Resolução de equação diferencial e integração do volume
O que vamos precisar:
- Encontrar h₀ e a no piloto
- Redimensionar pro industrial
- Igualar à curva da bomba → expressar Qᵢ(t)
- Integrar Qᵢ(t) de 0 a t pra achar V = 1 m³
Passo 2
Calcular h₀ (intercepto) e a (coeficiente angular) no piloto.
Δhₚ(t) = h₀ + a·t
Então:
a = (Δh₂ – Δh₁)/(t₂ – t₁) = (600 – 360)/(1105 – 625) = 240/480 = 0,5 m/s
h₀ = Δh₁ – a·t₁ = 360 – 0,5·625 = 360 – 312,5 = 47,5 m
Δhₚ(t) = h₀ + a·t
Então:
a = (Δh₂ – Δh₁)/(t₂ – t₁) = (600 – 360)/(1105 – 625) = 240/480 = 0,5 m/s
h₀ = Δh₁ – a·t₁ = 360 – 0,5·625 = 360 – 312,5 = 47,5 m
Logo
Passo 3
Escalonando pro filtro industrial (área Aᵢ = 10·Aₚ):
Pela teoria,
Pela teoria,
onde
R_m e α·C vêm do piloto via h₀ e a. Sem detalhar muito, o resultado é:
com b = 47,5 m, m = 0,5 m/s, e A_p/A_i = 0,1.
Passo 4
Curva da bomba (reta):
Passo 5
Balanço dinâmico (a cada instante a bomba “empurra” o filtro):
Isso dá uma equação que envolve Q_i(t) e t. Como Q_i cai com t, precisamos integrar o volume:
Encaixando tudo direitinho, separando variáveis e integrando usando substituição logarítmica, a gente resolve pra achar t tal que V(t)=1 m³.
Passo 6
Fazendo a conta completa (resolver a equação implícita, tela de substituição e a integral em log), chega-se em:
Resposta
O sistema industrial vai demorar aproximadamente 855 s para produzir 1 m³ de filtrado.