Um filtro prensa de 5 m^2 de área filtrante deverá funcionar com máxima produção à pressão constante. Ensaios de laboratório realizados à mesma pressão de operação, porém com um filtro de 0,5 m^2 de área filtrante, revelaram que a equação da filtração é a seguinte, para t em h, V em L e A em m^2 :
t=0,180(VA)^2+0,220(VA)
Quinze minutos são suficientes para descarregar a torta e montar a prensa e três litros de água deverão ser empregados na lavagem. Calcular a produção ótima do filtro. (2,73 L/h)

Passo 1

Então, o problema diz o seguinte: a gente tem um filtro-prensa com área A = 5 m² e quer maximizar a vazão (= produção em L/h) trabalhando a pressão constante. Fizemos um ensaio num filtro menor (A₀ = 0,5 m²) e achamos que o tempo de filtração satisfaz
t ;=; 0,180l(VAr)^2 ;+;0,220l(VAr)
com t em horas e V em litros. Além disso, a cada ciclo precisamos de 15 min (0,25 h) para descarregar/montar e mais 3 L de água de lavagem (o tempo de lavar esses 3 L também obedece à mesma equação de filtração, usando A=5 m²).
Conteúdo: otimização de função razão (V/T), cálculo de tempos de ciclo, derivada igual a zero.

Passo 2

Primeiro vamos escrever o tempo total de um ciclo em função do volume V de filtrado:
  1. Tempo de filtração do V:
trm fil ;=;0,180l(V5r)^2 ;+;0,220l(V5r) =;0,0072,V^2 ;+;0,044,V
  1. Tempo de lavar 3 L (mesma fórmula, V=3):
trm wash =0,180l(35r)^2+0,220l(35r) =0,1968;h
  1. Tempo de descarregar/montar: 0,25 h.
    Logo, tempo de ciclo
T(V)=0,0072,V^2 +0,044,V + l(0,1968+0,25r) =0,0072,V^2 +0,044,V +0,4468

Passo 3

A vazão (produção) é
P(V)=VT(V)=V0,0072V^2+0,044V+0,4468
Para achar o máximo, a gente deriva em relação a V e faz igual a zero.
dPdV =T - V,T'T^2 Longrightarrow T(V)-V,T'(V)=0
Aqui
T'(V)=0,0144,V +0,044,
então a condição 0,0072V^2+0,044V+0,4468 ;-; Vl(0,0144V+0,044r) =0 ;Longrightarrow; -0,0072V^2+0,4468=0 fica
Longrightarrow V^2=0,44680,0072 Longrightarrow Vrm óptapprox7,88;L
ó

Passo 4

Agora o tempo de ciclo correspondente é
T(7,88) =0,0072,(7,88)^2 +0,044,(7,88) +0,4468 approx1,2403;h
A produção máxima vale
Prm máx =7,881,2403 approx6,35;L/h á

Resposta

A produção ótima do filtro‐prensa, fazendo as contas direitinhas de otimização, é cerca de 6,35 L/h.

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