- Um determinado balão é constituído de um material tal que a pressão interna é proporcional ao quadrado do diâmetro do balão. Esse balão contém 2 kg de amônia que está inicialmente a
e com título de
. O balão é então aquecido até que a pressão interna final atinja 600 kPa . Considerando a amônia como sistema, qual é o trabalho realizado durante o processo?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
- Dados fornecidos:
- Massa de amônia:
. - Estado inicial: temperatura
e título (qualidade) (ou seja em massa como vapor). - Estado final: pressão interna final
. - Propriedade do balão: a pressão interna é proporcional ao quadrado do diâmetro do balão.
- Massa de amônia:
- O que se pede:
- O trabalho realizado durante o processo, considerando a amônia como o sistema.
Observações importantes (informações necessárias para resolver numericamente):
- Para determinar o volume inicial do sistema é preciso conhecer os volumes específicos do líquido saturado e do vapor saturado da amônia à temperatura inicial
: e , e também a pressão de saturação à . Esses valores devem ser obtidos em tabelas termodinâmicas da amônia (R-717). - A resolução a seguir apresenta a dedução e a fórmula final para o trabalho em função dessas propriedades; para obter o valor numérico final será preciso substituir os valores de
e retirados da tabela.
Passo 2
Relacionar pressão e volume a partir da informação sobre o diâmetro.
- Seja
o diâmetro característico do balão e o volume ocupado pela amônia. Para uma forma aproximadamente esférica ou qualquer escala geométrica simples vale que o volume escala como o cubo do diâmetro: - Foi dito que a pressão interna é proporcional ao quadrado do diâmetro:
- Substituindo
em função de obtemos uma relação entre e : onde é uma constante do processo que depende da geometria do balão e da constante de proporcionalidade original. Aqui é constante ao longo do processo.
Passo 3
Calcular o volume inicial total do sistema (passo necessário antes de qualquer número).
- Definição de título (qualidade)
: fração em massa que está na fase vapor. A partir disso o volume específico inicial (volume por unidade de massa) do fluido saturado é onde -
é o volume específico do líquido saturado da amônia à , -
é o volume específico do vapor saturado da amônia à .
-
- Então o volume total inicial do sistema é
- A pressão inicial
do sistema é a pressão de saturação da amônia à ; esse valor também deve ser obtido nas tabelas termodinâmicas.
(Observação pedagógica rápida: a qualidade
mede a fração em massa que está em vapor; misturas saturadas têm volume específico que é a média ponderada entre o líquido e o vapor.)
Passo 4
Relacionar volumes inicial e final usando a lei
.
- Para qualquer estado ao longo do processo vale
. Assim, aplicando isso aos estados inicial e final: - Eliminando
obtemos a relação entre pressões e volumes: - Desse modo o volume final
pode ser escrito em função de e das pressões:
Passo 5
Derivar a expressão do trabalho
para o processo
.
- Trabalho realizado pela amônia (trabalho de fronteira, sob pressão interna) é
- Calcular a integral:
- Usando
podemos reescrever . Em particular e . Portanto a expressão do trabalho fica muito simples:
(Essa forma é prática porque envolve pressões e volumes nos estados inicial e final, quantidades que podemos obter a partir das tabelas e da relação entre
e
.)
Passo 6
Colocar tudo em função das quantidades que se obtêm nas tabelas e da massa
.
- Lembrando
com e , a fórmula final para o trabalho pode ser escrita como - Esta expressão é o resultado prático: para obter o valor numérico de
faça - Buscar nas tabelas de amônia (R-717) à
os valores , e . - Calcular
com . - Calcular
com . - Calcular
com . - Finalmente avaliar
.
- Buscar nas tabelas de amônia (R-717) à
- Observação de unidades: usar o SI consistente — pressões em pascal (
), volumes em . Como foi dado em , converter . O resultado ficará em joules ( ).
Passo 7
Resumo didático — receita curta para a prova (passo a passo que você pode reproduzir sem tabela de derivação longa):
- Na prova, anote:
e ⇒ . - Calcule
(pegue na tabela à ). - Calcule
e anote (pressão de saturação à na tabela). - Use
. - Calcule
.
Faça tudo em unidades SI e pronto — esse é o procedimento direto e reprodutível durante a prova.