• Um determinado balão é constituído de um material tal que a pressão interna é proporcional ao quadrado do diâmetro do balão. Esse balão contém 2 kg de amônia que está inicialmente a 0^{\circ} \mathrm{C} e com título de 60 \%. O balão é então aquecido até que a pressão interna final atinja 600 kPa . Considerando a amônia como sistema, qual é o trabalho realizado durante o processo?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • Dados fornecidos:
    • Massa de amônia: m=2\\ \mathrm{kg}.
    • Estado inicial: temperatura 0^\circ\mathrm{C} e título (qualidade) x=0{,}60 (ou seja 60\% em massa como vapor).
    • Estado final: pressão interna final p_{f}=600\\ \mathrm{kPa}.
    • Propriedade do balão: a pressão interna é proporcional ao quadrado do diâmetro do balão.
  • O que se pede:
    • O trabalho realizado durante o processo, considerando a amônia como o sistema.
Observações importantes (informações necessárias para resolver numericamente):
  • Para determinar o volume inicial do sistema é preciso conhecer os volumes específicos do líquido saturado e do vapor saturado da amônia à temperatura inicial 0^\circ\mathrm{C}: v_f(0^\circ\mathrm{C}) e v_g(0^\circ\mathrm{C}), e também a pressão de saturação p_i à 0^\circ\mathrm{C}. Esses valores devem ser obtidos em tabelas termodinâmicas da amônia (R-717).
  • A resolução a seguir apresenta a dedução e a fórmula final para o trabalho em função dessas propriedades; para obter o valor numérico final será preciso substituir os valores de p_i,\;v_f e v_g retirados da tabela.

Passo 2

Relacionar pressão e volume a partir da informação sobre o diâmetro.
  • Seja D o diâmetro característico do balão e V o volume ocupado pela amônia. Para uma forma aproximadamente esférica ou qualquer escala geométrica simples vale que o volume escala como o cubo do diâmetro: V \propto D^{3}\quad\Longrightarrow\quad D \propto V^{1/3}.
  • Foi dito que a pressão interna é proporcional ao quadrado do diâmetro: p \propto D^{2}.
  • Substituindo D em função de V obtemos uma relação entre p e V: p = k\,V^{2/3},onde k é uma constante do processo que depende da geometria do balão e da constante de proporcionalidade original. Aqui k é constante ao longo do processo.

Passo 3

Calcular o volume inicial total do sistema (passo necessário antes de qualquer número).
  • Definição de título (qualidade) x: fração em massa que está na fase vapor. A partir disso o volume específico inicial v_i (volume por unidade de massa) do fluido saturado é v_i = (1-x)\,v_f + x\,v_g,onde
    • v_f é o volume específico do líquido saturado da amônia à 0^\circ\mathrm{C},
    • v_g é o volume específico do vapor saturado da amônia à 0^\circ\mathrm{C}.
  • Então o volume total inicial do sistema é V_i = m\,v_i = m\big[(1-x)v_f + x v_g\big].
  • A pressão inicial p_i do sistema é a pressão de saturação da amônia à 0^\circ\mathrm{C}; esse valor também deve ser obtido nas tabelas termodinâmicas.
(Observação pedagógica rápida: a qualidade x mede a fração em massa que está em vapor; misturas saturadas têm volume específico que é a média ponderada entre o líquido e o vapor.)

Passo 4

Relacionar volumes inicial e final usando a lei p=kV^{2/3}.
  • Para qualquer estado ao longo do processo vale p=kV^{2/3}. Assim, aplicando isso aos estados inicial e final: p_i = k V_i^{2/3},\qquad p_f = k V_f^{2/3}.
  • Eliminando k obtemos a relação entre pressões e volumes: \frac{p_f}{p_i}=\left(\frac{V_f}{V_i}\right)^{2/3}.
  • Desse modo o volume final V_f pode ser escrito em função de V_i e das pressões: V_f = V_i\left(\frac{p_f}{p_i}\right)^{3/2}.

Passo 5

Derivar a expressão do trabalho W para o processo p=kV^{2/3}.
  • Trabalho realizado pela amônia (trabalho de fronteira, sob pressão interna) é W=\int_{V_i}^{V_f} p\,\mathrm{d}V=\int_{V_i}^{V_f} k\,V^{2/3}\,\mathrm{d}V.
  • Calcular a integral: W = k\left[\frac{V^{5/3}}{5/3}\right]_{V_i}^{V_f} = \frac{3k}{5}\bigl(V_f^{5/3}-V_i^{5/3}\bigr).
  • Usando p=kV^{2/3} podemos reescrever kV^{5/3}=pV. Em particular kV_f^{5/3}=p_f V_f e kV_i^{5/3}=p_i V_i. Portanto a expressão do trabalho fica muito simples: W = \frac{3}{5}\bigl(p_f V_f - p_i V_i\bigr).
(Essa forma é prática porque envolve pressões e volumes nos estados inicial e final, quantidades que podemos obter a partir das tabelas e da relação entre V_f e V_i.)

Passo 6

Colocar tudo em função das quantidades que se obtêm nas tabelas e da massa m.
  • Lembrando V_i=m v_i com v_i=(1-x)v_f+x v_g e V_f=V_i(p_f/p_i)^{3/2}, a fórmula final para o trabalho pode ser escrita como W=\frac{3}{5}\Bigl[p_f\,V_i\Bigl(\frac{p_f}{p_i}\Bigr)^{3/2}-p_i\,V_i\Bigr] =\frac{3}{5}\,m\,v_i\Bigl[p_f\Bigl(\frac{p_f}{p_i}\Bigr)^{3/2}-p_i\Bigr].
  • Esta expressão é o resultado prático: para obter o valor numérico de W faça
    1. Buscar nas tabelas de amônia (R-717) à 0^\circ\mathrm{C} os valores p_i, v_f e v_g.
    2. Calcular v_i=(1-x)v_f+x v_g com x=0{,}60.
    3. Calcular V_i=m v_i com m=2\\ \mathrm{kg}.
    4. Calcular V_f=V_i (p_f/p_i)^{3/2} com p_f=600\\ \mathrm{kPa}.
    5. Finalmente avaliar W=(3/5)(p_f V_f - p_i V_i).
  • Observação de unidades: usar o SI consistente — pressões em pascal ( \mathrm{Pa}), volumes em \mathrm{m^3}. Como p_f foi dado em \mathrm{kPa}, converter 600\\ \mathrm{kPa}=600\times10^{3}\\ \mathrm{Pa}. O resultado W ficará em joules ( \mathrm{J}).

Passo 7

Resumo didático — receita curta para a prova (passo a passo que você pode reproduzir sem tabela de derivação longa):
  1. Na prova, anote: p\propto D^{2} e V\propto D^{3} p=kV^{2/3}.
  2. Calcule v_i=(1-x)v_f+x v_g (pegue v_f,v_g na tabela à 0^\circ\mathrm{C}).
  3. Calcule V_i=m v_i e anote p_i (pressão de saturação à 0^\circ\mathrm{C} na tabela).
  4. Use V_f=V_i\bigl(p_f/p_i\bigr)^{3/2}.
  5. Calcule W=\dfrac{3}{5}\bigl(p_f V_f - p_i V_i\bigr).
Faça tudo em unidades SI e pronto — esse é o procedimento direto e reprodutível durante a prova.

Resposta

W=\frac{3}{5}\bigl(p_f V_f - p_i V_i\bigr), \qquad\text{com }V_i=m\bigl[(1-x)v_f+x v_g\bigr]\text{ e }V_f=V_i\Bigl(\frac{p_f}{p_i}\Bigr)^{3/2}.

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