Uma redução com 1,5 \mathrm{~m} de diâmetro a montante e 1,0 \mathrm{~m} a jusante, assentada no plano horizontal, apresentou 400 kPa de pressão na seção de montante quando transportava 1,8 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} de água. Desprezando-se a perda de carga, calcule a força horizontal que esta peça deve provocar no bloco para a sua ancoragem.

Passo 1

O enunciado dá uma redução horizontal de diâmetro montante D_1=1,5\\ \mathrm{m} para jusante D_2=1,0\\ \mathrm{m}, escoando água com vazão volumétrica Q=1,8\\ \mathrm{m^{3}/s}. A pressão na seção montante é p_1=400\\ \mathrm{kPa}. Despreza-se perda de carga.
O que se pede: calcular a força horizontal que a peça deve provocar no bloco para ancoragem (ou seja, a força que o bloco precisará resistir devido ao escoamento).
Dados relevantes listados:
  • D_1=1,5\\ \mathrm{m}.
  • D_2=1,0\\ \mathrm{m}.
  • Q=1,8\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • p_1=400\\ \mathrm{kPa}=400\,000\\ \mathrm{Pa}.
  • Fluido: água, \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Tubulação no plano horizontal (mesma cota nas seções).
  • Despreza-se perdas de carga.

Passo 2

Primeiro passo de cálculo: achar as áreas das seções, as velocidades média em cada seção e a vazão mássica. Fórmulas importantes e explicação:
  • Área de um círculo: \displaystyle A=\frac{\pi D^{2}}{4}. Aqui A é a área da seção (m^{2}) e D o diâmetro (m).
  • Continuidade (escoamento incompressível, regime estacionário): \displaystyle Q = A\,V. Aqui V é a velocidade média no trecho (m/s).
  • Vazão mássica: \displaystyle \dot{m}=\rho Q. Aqui \rho é a densidade do fluido (kg/m^{3}) e \dot{m} fica em kg/s.
Vou aplicar essas fórmulas para obter A_1,A_2,V_1,V_2,\dot{m}.

Passo 3

Cálculo das áreas e velocidades:
A_1=\frac{\pi D_1^{2}}{4}=\frac{\pi(1,5)^{2}}{4}=\pi\cdot0,5625\approx1,767145867\\ \mathrm{m^{2}}
A_2=\frac{\pi D_2^{2}}{4}=\frac{\pi(1,0)^{2}}{4}=\pi\cdot0,25\approx0,785398163\\ \mathrm{m^{2}}
Velocidades médias pelas relações de continuidade:
V_1=\frac{Q}{A_1}=\frac{1,8}{1,767145867}\approx1,018155\\ \mathrm{m/s}
V_2=\frac{Q}{A_2}=\frac{1,8}{0,785398163}\approx2,292000\\ \mathrm{m/s}
Vazão mássica:
\dot{m}=\rho Q=1000\cdot1,8=1800\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 4

Agora precisamos da pressão na jusante p_2. Como o trecho é horizontal e as perdas são desprezadas, aplica-se o teorema de Bernoulli entre as duas seções (para fluido incompressível e fluxo estacionário):
\frac{p_1}{\rho}+\frac{V_1^{2}}{2}=\frac{p_2}{\rho}+\frac{V_2^{2}}{2}.
Rearranjando para p_2:
p_2 = p_1 + \tfrac{\rho}{2}\,(V_1^{2}-V_2^{2}).
Substituindo números:
V_1^{2}\approx1,03664\\ \mathrm{(m^{2}/s^{2})},\qquad V_2^{2}\approx5,253264\\ \mathrm{(m^{2}/s^{2})}.
p_2 = 400\,000 + \tfrac{1000}{2}\,(1,03664-5,253264) =400\,000 +500\cdot(-4,216624) \approx400\,000-2\,108{,}312 \approx397\,891{,}688\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Agora usamos o balanço de quantidade de movimento (momento linear) na direção horizontal. Ideia e fórmula: para um controle volumétrico englobando o fluido entre as seções, em regime estacionário,
\sum F_x = \dot{m}\,(V_2-V_1).
As forças externas na direção x são: força de pressão na seção 1 empurrando o fluido para a direita +p_1A_1, força de pressão na seção 2 empurrando o fluido para a esquerda -p_2A_2, e a força aplicada pelo bloco sobre o fluido F_{B\to f} (sinal conforme convenção que tomamos positiva para a direita). Assim:
p_1A_1 - p_2A_2 + F_{B\to f} = \dot{m}\,(V_2-V_1).
Dessa equação isolamos a força que o bloco aplica sobre o fluido:
F_{B\to f} = \dot{m}\,(V_2-V_1) - (p_1A_1 - p_2A_2).
Por ação e reação, a força que o fluido (ou a peça) exerce sobre o bloco é F_{f\to B} = -F_{B\to f}. É essa força F_{f\to B} que o bloco deve resistir; a peça “provoca” essa força no bloco.

Passo 6

Agora substituímos valores e calculamos os termos numéricos:
Cálculo de p_1A_1-p_2A_2. Para precisão, uso p_2 calculado no passo anterior:
p_1A_1 - p_2A_2 =400\,000\cdot1,767145867 - 397\,891{,}688\cdot0,785398163 \approx706\,858{,}347 - 312\,502{,}600 \approx394\,355{,}747\\ \mathrm{N}.
Cálculo do termo de quantidade de movimento:
\dot{m}(V_2-V_1)=1800\cdot(2,292000-1,018155)\approx1800\cdot1,273845\approx2\,292{,}921\\ \mathrm{N}.
Logo a força que o bloco aplica sobre o fluido é
F_{B\to f}=2\,292{,}921 - 394\,355{,}747 \approx -392\,062{,}826\\ \mathrm{N}.
Como este resultado é negativo (seguindo a convenção positiva para a direita), significa que o bloco deve aplicar uma força para a esquerda sobre o fluido. Por ação e reação, a força que o fluido (a peça) aplica sobre o bloco é
F_{f\to B}=-F_{B\to f}\approx392\,062{,}826\\ \mathrm{N},
direcionada para a direita (isto é, no sentido do escoamento, da seção montante para a jusante). Em notação arredondada prática:
F_{f\to B}\approx3{,}9206\times10^{5}\\ \mathrm{N}\approx392\\ \mathrm{kN}.

Passo 7

Interpretação final e verificação rápida: a maior contribuição vem da diferença de pressão multiplicada pelas áreas (termos p_1A_1 e p_2A_2); o termo de variação de quantidade de movimento é pequeno comparado (alguns kN contra centenas de kN). Isso faz sentido físico: a pressão mais alta em montante empurra fortemente a peça em direção jusante, o que precisa ser ancorado pelo bloco.

Resposta

3,92\times10^{5}\\ \mathrm{N} (direção: para a direita, no sentido do escoamento)

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