Determinado corpo sólido é imerso de forma repentina em um tanque que contém líquido. O comportamento da temperatura do tanque é dado pela seguinte equação:
T tanque =Ti+(T0-Ti) e^t / tau
Determine o comportamento da temperatura do corpo (a resposta da temperatura do corpo) para as seguintes condições:
a) O corpo é imerso no tempo inicial t=0;
b) A constante de tempo do tanque tau é igual a dez vezes a constante de tempo do corpo.
c) Plotar o comportamento das temperaturas do corpo e do tanque para 0 <= t / tau <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos por partes. O enunciado diz que temos um tanque com líquido cuja temperatura varia no tempo segundo
Ttanque(t) ;=; Ti ;+;l(T0 - Tir),e^-,t/tautanque,,
e um corpo sólido que a partir de dTcdt ;=; 1taucl(Ttanque(t),-,Tc(t)r), é mergulhado nesse líquido. Queremos achar como a temperatura do corpo evolui quando:
  1. ele entra no tanque em ,
  2. (constante de tempo do tanque é 10× a do corpo),
  3. depois plotar ambas as curvas de .
Conteúdo da matéria: aqui a gente vai usar o modelo de “capacitância térmica concentrada” (lumped capacitance), que leva à EDO
Para resolver, precisamos:
  • Conhecer a equação do tanque (já dada).
  • Montar a EDO de primeira ordem para .
  • Aplicar método de fator integrante (ou chute de solução exponencial) porque o forçamento é uma exponencial.

Passo 2

Escrevendo a EDO do corpo:
dTcdt + 1tauc,Tc ;=;1tauc,Ttanque(t) =1taucl[Ti + (T0-Ti)e^-t/tautanquer]
Isso é uma EDO linear não-homogênea. A solução geral é soma de:
  1. solução homogênea ,
  2. solução particular do tipo mais constante.

Passo 3

Chutamos a forma
Tc(t)-Ti = A,e^-t/tauc + D,e^-t/tautanque
Derivando e colocando na EDO, achamos que
D = (T0-Ti),tautanquetautanque-tauc, A = -(T0-Ti),tauctautanque-tauc
Logo, a solução completa é
Tc(t) = Ti + (T0-Ti),tautanque,e^-t/tautanque - tauc,e^-t/tauctautanque-tauc

Passo 4

Agora aplicamos a condição b: Ttanque(t) = Ti + (T0 - Ti),e^-t/(10tauc), . Substituindo, fica
Tc(t) = Ti + (T0-Ti),10tauc,e^-t/(10tauc) - tauc,e^-t/tauc9tauc = Ti + (T0-Ti),10,e^-t/(10tauc) - e^-t/tauc9

Passo 5

Para plotar de Ttanque(theta) = Ti + (T0 - Ti),e^-theta/10, [6pt] Tc(theta) = Ti + (T0 - Ti),dfrac10,e^-theta/10 - e^-theta9 (ou seja, de até ), é conveniente definir a variável adimensional
. Então
Basta desenhar essas duas funções vs.\ de 0 a 2. A curva do tanque decai suavemente (constante de tempo ), e a do corpo cai mais rápido (constante ), sempre se aproximando de .

Resposta

boxed Tc(t) = Ti + (T0 - Ti),10,expl(-t/(10tauc)r);-;expl(-t/taucr)9
E para o plot, usar
Ttanque(t) &= Ti + (T0 - Ti),e^-t/(10tauc), Tc(t) &= Ti + (T0 - Ti),10,e^-t/(10tauc) - e^-t/tauc9, 0<= t/tauc<=2

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