Determinado corpo sólido é imerso de forma repentina em um tanque que contém líquido. O comportamento da temperatura do tanque é dado pela seguinte equação:
Determine o comportamento da temperatura do corpo (a resposta da temperatura do corpo) para as seguintes condições:
a) O corpo é imerso no tempo inicial ;
b) A constante de tempo do tanque é igual a dez vezes a constante de tempo do corpo.
c) Plotar o comportamento das temperaturas do corpo e do tanque para .
Passo 1
Beleza, vamos por partes. O enunciado diz que temos um tanque com líquido cuja temperatura varia no tempo segundo
e um corpo sólido que a partir de é mergulhado nesse líquido. Queremos achar como a temperatura do corpo evolui quando:
ele entra no tanque em ,
(constante de tempo do tanque é 10× a do corpo),
depois plotar ambas as curvas de .
Conteúdo da matéria: aqui a gente vai usar o modelo de “capacitância térmica concentrada” (lumped capacitance), que leva à EDO
Para resolver, precisamos:
Conhecer a equação do tanque (já dada).
Montar a EDO de primeira ordem para .
Aplicar método de fator integrante (ou chute de solução exponencial) porque o forçamento é uma exponencial.
Passo 2
Escrevendo a EDO do corpo:
Isso é uma EDO linear não-homogênea. A solução geral é soma de:
solução homogênea ,
solução particular do tipo mais constante.
Passo 3
Chutamos a forma
Derivando e colocando na EDO, achamos que
Logo, a solução completa é
Passo 4
Agora aplicamos a condição b: . Substituindo, fica
Passo 5
Para plotar de (ou seja, de até ), é conveniente definir a variável adimensional . Então
Basta desenhar essas duas funções vs.\ de 0 a 2. A curva do tanque decai suavemente (constante de tempo ), e a do corpo cai mais rápido (constante ), sempre se aproximando de .
Resposta
boxed Tc(t) = Ti + (T0 - Ti),10,expl(-t/(10tauc)r);-;expl(-t/taucr)9
E para o plot, usar
Ttanque(t) &= Ti + (T0 - Ti),e^-t/(10tauc), Tc(t) &= Ti + (T0 - Ti),10,e^-t/(10tauc) - e^-t/tauc9, 0<= t/tauc<=2