Ex 5. Em um determinado dia, um vendedor de reagentes pode visitar um ou dois potenciais clientes com probabilidade de 1 / 4 ou 3 / 4, respectivamente. De cada visita pode resultar na venda de um pacote de reagente por R$5.000,00 (com probabilidade de 2 / 5) ou nenhuma venda (com probabilidade 3 / 5 ). Definindo Y como uma variável aleatória representando o valor total de vendas no dia:
a) Descreva a distribuição de probabilidade da variável Y.
b) Qual o valor esperado de vendas no dia? Encontre o desvio padrão das vendas.

Passo 1

O enunciado diz que num dia o vendedor faz X visitas, com
P(X=1)=\tfrac14,\quad P(X=2)=\tfrac34,
e a cada visita há probabilidade p=\tfrac25 de vender um pacote de reagente por R$, 5000 e probabilidade \tfrac35 de não vender. Definimos Y como o valor total de vendas no dia. Vamos primeiro obter a distribuição de probabilidade de Y e em seguida calcular E[Y] e o desvio padrão de Y.

Passo 2

Para cada X fixo, o número de vendas S é binomial S\sim\mathrm{Bin}(X,p), e
Y=5000\,S.
Logo Y só pode assumir os valores 0, 5000 ou 10000. Usamos a probabilidade total:
P(Y=y)=\sum_{x=1}^{2}P(Y=y\mid X=x)\,P(X=x).

Passo 3

Calcular cada caso:
  1. P(Y=0)
    P(Y=0)=P(X=1)\,P(S=0\mid X=1)+P(X=2)\,P(S=0\mid X=2) =\tfrac14\cdot\tfrac35+\tfrac34\cdot\bigl(\tfrac35\bigr)^2 =\tfrac{21}{50}.
  2. P(Y=5000)
    P(Y=5000)=P(X=1)\,P(S=1\mid X=1)+P(X=2)\,P(S=1\mid X=2) =\tfrac14\cdot\tfrac25+\tfrac34\cdot2\cdot\tfrac25\cdot\tfrac35 =\tfrac{23}{50}.
  3. P(Y=10000)
    P(Y=10000)=P(X=2)\,P(S=2\mid X=2) =\tfrac34\cdot\bigl(\tfrac25\bigr)^2 =\tfrac{3}{25}.

Passo 4

Calcular o valor esperado. Pela distribuição de Y:
E[Y] =0\cdot\tfrac{21}{50}+5000\cdot\tfrac{23}{50}+10000\cdot\tfrac{3}{25} =R\$\,3500.

Passo 5

Calcular a variância usando a lei da variância total:
\mathrm{Var}(Y)=E[\mathrm{Var}(Y\mid X)]+\mathrm{Var}(E[Y\mid X]).
Como \mathrm{Var}(Y\mid X)=5000^2\,X\,p(1-p) e E[Y\mid X]=5000\,p\,X, temos
E[\mathrm{Var}(Y\mid X)] =5000^2\,p(1-p)\,E[X] =25\times10^6\cdot\tfrac25\cdot\tfrac35\cdot\tfrac74 =10\,500\,000,
\mathrm{Var}(E[Y\mid X]) =(5000\,p)^2\,\mathrm{Var}(X) =2000^2\cdot\tfrac{3}{16} =750\,000.
Logo
\mathrm{Var}(Y)=10\,500\,000+750\,000=11\,250\,000,
e o desvio padrão é
\sigma_Y=\sqrt{11\,250\,000}\approx R\$\,3354{,}1.

Resposta

a) A distribuição de Y é
P(Y=0)=\tfrac{21}{50},\quad P(Y=5000)=\tfrac{23}{50},\quad P(Y=10000)=\tfrac{3}{25}.
b)
E[Y]=R\$\,3500,\quad \mathrm{Desvio\\ padrão}=\sigma_Y\approx R\$\,3354{,}1.ã

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