Ex 4. O tempo T, em horas, necessário para uma levedura consumir todo o substrato em um biorreator é uma variável aleatória com a seguinte distribuição de probabilidade:
\mathbf{t} 2 3 4 5 6 7
\mathbf{p}(\mathbf{t}) 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2
a) Calcule o tempo médio de consumo do substrato.
b) Para cada biorreator que conclui o processo em menos de cinco horas, há um ganho adicional de R$50,00 por hora economizada. Encontre a distribuição de probabilidade, a média e a variância da variável aleatória G (valor ganho por processo concluído).

Passo 1

O enunciado dá a variável aleatória discreta T (tempo em horas) com a seguinte distribuição parcial:
\begin{array}{c|cccccc} t & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\\hline p(t)=P(T=t) & 0,1 & 0,1 & 0,3 & 0,2 & 0,2 & \text{?} \end{array}
Na alínea (a) queremos o valor esperado \mathbb{E}(T).
Na alínea (b) definimos a variável aleatória G que é o ganho adicional, valendo
G = \begin{cases} 50\,(5-T),& T<5,\\\\ 0,& T\ge5, \end{cases}
e precisamos achar sua distribuição, média e variância.

Passo 2

Primeiro completamos a tabela de T. Como a soma das probabilidades deve ser 1,
p(7)=1 - \bigl(0,1+0,1+0,3+0,2+0,2\bigr)=1-0,9=0,1.
Agora calculamos
\mathbb{E}(T)=\sum_{t=2}^{7} t\,p(t) =2\cdot0,1+3\cdot0,1+4\cdot0,3+5\cdot0,2+6\cdot0,2+7\cdot0,1 =4,6\\ (\text{horas}).

Passo 3

Definimos G em função de T. Os valores possíveis de G são
G=150\\ (\text{se }T=2),\quad G=100\\ (\text{se }T=3),\quad G=50\\ (\text{se }T=4),\quad G=0\\ (\text{se }T\ge5).
As probabilidades correspondentes são
P(G=150)=P(T=2)=0,1,\quad P(G=100)=P(T=3)=0,1,
P(G=50)=P(T=4)=0,3,\quad P(G=0)=P(T\ge5)=0,2+0,2+0,1=0,5.

Passo 4

Calculamos a média de G:
\mathbb{E}(G) =\sum_{g}g\,P(G=g) =150\cdot0,1+100\cdot0,1+50\cdot0,3+0\cdot0,5 =40\\ (\text{reais}).

Passo 5

Calculamos a variância de G. Primeiro \mathbb{E}(G^2):
\mathbb{E}(G^2) =150^2\cdot0,1+100^2\cdot0,1+50^2\cdot0,3+0^2\cdot0,5 =22500\cdot0,1+10000\cdot0,1+2500\cdot0,3 =4000.
Logo
\mathrm{Var}(G) =\mathbb{E}(G^2)-\bigl[\mathbb{E}(G)\bigr]^2 =4000-40^2 =2400\\ (\text{reais}^2).

Resposta

a) O tempo médio é \mathbb{E}(T)=4,6 horas.
b) A distribuição de G é
\begin{array}{c|cccc} g & 0 & 50 & 100 & 150\\hline P(G=g) & 0,5 & 0,3 & 0,1 & 0,1 \end{array}
com \mathbb{E}(G)=40 reais e \mathrm{Var}(G)=2400 reais ^2.

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