Ex 3. Uma planta de bioprocessamento trabalha com dois fornecedores de um meio de cultivo específico (fornecedor A e B). As chances de que um lote do meio fornecido pelos fornecedores A e B esteja contaminado são de 10 \% e 5 \%, respectivamente. Do total de lotes recebidos pela planta, 30 \% são do fornecedor A e 70% do fornecedor B. Se um lote do meio de cultivo é escolhido ao acaso:
a) Calcule a probabilidade de que ele esteja contaminado.
b) Se o lote escolhido ao acaso está contaminado, qual é a probabilidade de que ele tenha sido produzido pelo fornecedor A?

Passo 1

O enunciado descreve dois fornecedores de meio de cultivo, A e B, com
P(A)=0,30, P(B)=0,70 e probabilidades de contaminação condicional
P(\text{cont}\mid A)=10\% e P(\text{cont}\mid B)=5\%.
Queremos calcular:
a) P(\text{cont}) usando o Teorema da Probabilidade Total.
b) P(A\mid \text{cont}) usando o Teorema de Bayes.

Passo 2

Pelo Teorema da Probabilidade Total,
P(\text{cont}) = P(\text{cont}\mid A)\,P(A) + P(\text{cont}\mid B)\,P(B).
Substituindo os valores:
P(\text{cont}) = 0,10 \times 0,30 + 0,05 \times 0,70 = 0,03 + 0,035 = 0,065.
Portanto,
P(\text{cont}) = 0,065,
que equivale a 6,5\%.

Passo 3

Para encontrar P(A\mid \text{cont}) aplicamos o Teorema de Bayes:
P(A\mid \text{cont}) = \frac{P(\text{cont}\mid A)\,P(A)}{P(\text{cont})}.
Já sabemos que P(\text{cont}\mid A)\,P(A)=0,10\times0,30=0,03 e P(\text{cont})=0,065, logo
P(A\mid \text{cont}) = \frac{0,03}{0,065} \approx 0,4615,
ou seja, aproximadamente 46,15\%.

Resposta

a) P(\text{cont}) = 6,5\%
b) P(A\mid \text{cont}) \approx 46,15\%

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