Questão 3 - Valor: 4 Pontos
Num tanque fechado o nível da água fica a 5,2 \mathrm{~m} do centro do orifício e, no espaço acima da superfície, a pressão é de 2,1 \mathrm{Kgf} / \mathrm{cm}^{2}. O orifício possui um diâmetro de 75 cm . Calcule a velocidade do jato e a descarga no orifício sendo \mathrm{cv}=0,97 \mathrm{e} \mathrm{cd}=0,61.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos (peguei estes dados do enunciado e da figura):
  • Pedidos: calcular a velocidade do jato e a descarga no orifício.
  • Dados:
    • A distância vertical entre superfície livre e o centro do orifício: h=5,2\\ \mathrm{m}.
    • Pressão no espaço acima da superfície (pressão do ar no topo do tanque): p_a=2,1\\ \mathrm{kgf/cm^2}.
    • O orifício tem diâmetro d=75\\ \mathrm{cm}=0,75\\ \mathrm{m}.
    • Coeficiente de velocidade: c_v=0,97.
    • Coeficiente de descarga: c_d=0,61.
  • Informação contextual da figura (usada para entender que o jato sai para a atmosfera): fora do tanque a pressão é p_{atm} (atmosfera).

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (explicado passo a passo).
  • Ideia física: a energia por unidade de massa na superfície livre (pressão no topo + altura) se transforma em energia cinética do jato no orifício. Aplicamos Bernoulli entre a superfície livre (ponto 1) e o jato (ponto 2, na vena contrata/saída), desprezando velocidade da superfície. A forma útil para velocidade teórica é:
v_{teo}=\sqrt{2\left(\dfrac{p_1-p_2}{\rho}+g\,h\right)}
onde:
  • p_1 é a pressão sobre a superfície livre (em \mathrm{Pa});
  • p_2 é a pressão externa onde o jato se abre (aqui: p_{atm}, em \mathrm{Pa});
  • \rho é a massa específica da água (usar \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3});
  • g é a aceleração da gravidade ( g=9,81\\ \mathrm{m/s^2});
  • h é a altura vertical entre superfície e centro do orifício.
  • Observação sobre os coeficientes:
    • O coeficiente de velocidade c_v corrige a velocidade teórica para a velocidade real do jato: v=c_v\,v_{teo}.
    • O coeficiente de descarga c_d relaciona a vazão real com a vazão ideal: Q=c_d\,A_0\,v_{teo}, onde A_0 é a área do orifício. Também vale c_d=c_c\,c_v, com c_c coeficiente de contração.

Passo 3

Conversão de unidades e cálculo da cabeça disponível.
  • Converter p_a para Pa: 1\\ \mathrm{kgf/cm^2}=98066{,}5\\ \mathrm{Pa}. Então
p_1 = 2{,}1\cdot98066{,}5 = 205939{,}65\\ \mathrm{Pa}.
  • Pressão atmosférica padrão:
p_{atm}=101325\\ \mathrm{Pa}.
  • Diferença de pressão:
\Delta p = p_1-p_{atm}=205939{,}65-101325=104614{,}65\\ \mathrm{Pa}.
  • Converter essa diferença em “cabeça” de pressão ( \mathrm{m} de água):
\dfrac{\Delta p}{\rho g}=\dfrac{104614{,}65}{1000\cdot9{,}81}=10{,}66\\ \mathrm{m}.
  • Cabeça total disponível:
H=\dfrac{\Delta p}{\rho g}+h=10{,}66+5{,}2=15{,}86\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Cálculo da velocidade teórica e da velocidade real (do jato).
  • Velocidade teórica pela fórmula v_{teo}=\sqrt{2gH}. Calcular:
v_{teo}=\sqrt{2\cdot9{,}81\cdot15{,}86}=\sqrt{311{,}25}\approx17{,}64\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade real do jato usando c_v:
v=c_v\,v_{teo}=0{,}97\cdot17{,}64\approx17{,}12\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Cálculo da descarga Q.
  • Área do orifício:
A_0=\dfrac{\pi d^2}{4}=\dfrac{\pi\cdot(0{,}75)^2}{4}=\pi\cdot0{,}140625\approx0{,}441786\\ \mathrm{m^2}.
  • Usando diretamente o coeficiente de descarga c_d:
Q=c_d\,A_0\,v_{teo}=0{,}61\cdot0{,}441786\cdot17{,}64.
Calcular passo a passo:
0{,}441786\cdot17{,}64\approx7{,}7890\\ \mathrm{m^3/s},
Q\approx0{,}61\cdot7{,}7890\approx4{,}75\\ \mathrm{m^3/s}.
  • (Verificação alternativa: c_c=c_d/c_v=0{,}61/0{,}97\approx0{,}629. Área contraída A_c=c_cA_0\approx0{,}629\cdot0{,}441786\approx0{,}2778\\ \mathrm{m^2}. Então Q=A_c\cdot v\approx0{,}2778\cdot17{,}12\approx4{,}75\\ \mathrm{m^3/s}, mesmo resultado.)

Resposta

v\approx17{,}12\\ \mathrm{m/s}
Q\approx4{,}75\\ \mathrm{m^3/s}

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