Um determinado escritório de uma empresa é formado por 8 homens e 6 mulheres. O escritório deseja escolher 3 pessoas para formar uma comissão, determine:
a probabilidade de uma comissão ser formada apenas por homens;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • \,8\, homens e \,6\, mulheres no escritório, totalizando \,8+6=14\, pessoas.
  • Será escolhida uma comissão de \,3\, pessoas (sem ordem).
    A pergunta é: qual a probabilidade de a comissão ser formada apenas por homens?

Passo 2

Conceito que vamos usar: probabilidade é a razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis, supondo todas as escolhas igualmente prováveis. Como a comissão tem \,3\, pessoas sem ordem, contamos conjuntos de tamanho \,3\,. Usamos combinações para isso:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde \,n!\, (fatorial) é o produto \,n!=(n)(n-1)(n-2)\cdots1, e \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher k elementos dentre n sem considerar ordem.

Passo 3

Calcular o número total de comissões possíveis (todas as escolhas de \,3\, pessoas entre \,14\,):
\binom{14}{3}=\frac{14\cdot13\cdot12}{3\cdot2\cdot1}.
Agora as contas passo a passo:
14\cdot13\cdot12=2184, \qquad 3\cdot2\cdot1=6,
\binom{14}{3}=\frac{2184}{6}=364.

Passo 4

Calcular o número de comissões formadas apenas por homens (escolher \,3\, entre os \,8\, homens):
\binom{8}{3}=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}.
Fazendo as contas:
8\cdot7\cdot6=336, \qquad 3\cdot2\cdot1=6,
\binom{8}{3}=\frac{336}{6}=56.

Passo 5

Agora a probabilidade pedida é
P=\frac{\text{casos favoráveis}}{\text{casos totais}}=\frac{\binom{8}{3}}{\binom{14}{3}}=\frac{56}{364}.á
Simplificando a fração: dividindo numerador e denominador por 28,
\frac{56}{364}=\frac{2}{13}.

Passo 6

Verificação alternativa (método multiplicativo, sem combinar): escolher sem ordem é equivalente a escolher sequencialmente sem reposição; a probabilidade de três escolhas sucessivas serem homens é
\frac{8}{14}\cdot\frac{7}{13}\cdot\frac{6}{12}=\frac{8\cdot7\cdot6}{14\cdot13\cdot12}=\frac{336}{2184}=\frac{56}{364}=\frac{2}{13},
confirmando o resultado anterior.

Passo 7

Interpretação final: a chance de, ao escolher uma comissão de 3 pessoas ao acaso entre 8 homens e 6 mulheres, saírem apenas homens é a fração \dfrac{2}{13}, cerca de 15{,}38\%.

Resposta

\dfrac{2}{13}\approx0,153846

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