Um determinado escritório de uma empresa é formado por 8 homens e 6 mulheres. O escritório deseja escolher 3 pessoas para formar uma comissão, determine:
o número de comissões que podem ser formadas com 3 pessoas;
o número de comissões que podem ser formadas com 3 pessoas;
Passo 1
O enunciado nos diz que o escritório tem
homens e
mulheres. Queremos formar uma comissão com
pessoas.
Pergunta clara: quantas comissões distintas de pessoas podem ser formadas no total?
Pergunta clara: quantas comissões distintas de
Informações relevantes:
- Número de homens:
. - Número de mulheres:
. - Total de pessoas disponíveis:
. - Tamanho da comissão a escolher:
.
Passo 2
Explicação conceitual (por que usar combinação): ao formar uma comissão, a ordem em que escolhemos as pessoas não importa — uma comissão com as pessoas A, B e C é a mesma que B, C e A. Quando a ordem não importa usamos combinações. Em linguagem combinatória, queremos contar quantos subconjuntos de tamanho
existem dentro de um conjunto de
elementos.
Passo 3
Fórmula das combinações: o número de maneiras de escolher
elementos de um conjunto de
elementos (sem ordem) é dado por
onde:
-
(lê-se “n fatorial”) é o produto ; -
é o fatorial de ; -
é a diferença entre o total e o escolhido;
essa fórmula remove as ordenações por dividir por.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso com
e
:
Note que
, então podemos cancelar o
no numerador e denominador:
Passo 5
Agora calculamos passo a passo o valor numérico. Primeiro lembrando que
:
Podemos simplificar dividindo
por
:
Agora calculamos
e em seguida
. Uma forma prática:
.
Passo 6
Interpretação final: existem
comissões diferentes de
pessoas que podem ser formadas a partir das
pessoas do escritório. Dica para prova: ao calcular
prefira sempre cancelar fatoriais antes de multiplicar tudo — isso evita números muito grandes e facilita o cálculo à mão.