Um determinado escritório de uma empresa é formado por 8 homens e 6 mulheres. O escritório deseja escolher 3 pessoas para formar uma comissão, determine:
o número de comissões que podem ser formadas com 3 pessoas;

Passo 1

O enunciado nos diz que o escritório tem 8 homens e 6 mulheres. Queremos formar uma comissão com 3 pessoas.
Pergunta clara: quantas comissões distintas de 3 pessoas podem ser formadas no total?
Informações relevantes:
  • Número de homens: 8.
  • Número de mulheres: 6.
  • Total de pessoas disponíveis: 8+6=14.
  • Tamanho da comissão a escolher: 3.

Passo 2

Explicação conceitual (por que usar combinação): ao formar uma comissão, a ordem em que escolhemos as pessoas não importa — uma comissão com as pessoas A, B e C é a mesma que B, C e A. Quando a ordem não importa usamos combinações. Em linguagem combinatória, queremos contar quantos subconjuntos de tamanho 3 existem dentro de um conjunto de 14 elementos.

Passo 3

Fórmula das combinações: o número de maneiras de escolher k elementos de um conjunto de n elementos (sem ordem) é dado por
\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!},
onde:
  • n! (lê-se “n fatorial”) é o produto n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots1;
  • k! é o fatorial de k;
  • n-k é a diferença entre o total e o escolhido;
    essa fórmula remove as ordenações por dividir por k!.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso com n=14 e k=3:
\binom{14}{3}=\dfrac{14!}{3! \, 11!}.
Note que 14! = 14\cdot13\cdot12\cdot11!, então podemos cancelar o 11! no numerador e denominador:
\binom{14}{3}=\dfrac{14\cdot13\cdot12\cdot\cancel{11!}}{3!\,\cancel{11!}}=\dfrac{14\cdot13\cdot12}{3!}.

Passo 5

Agora calculamos passo a passo o valor numérico. Primeiro lembrando que 3!=3\cdot2\cdot1=6:
\binom{14}{3}=\dfrac{14\cdot13\cdot12}{6}.
Podemos simplificar dividindo 12 por 6:
\dfrac{14\cdot13\cdot12}{6}=14\cdot13\cdot2.
Agora calculamos 13\cdot2=26 e em seguida 14\cdot26. Uma forma prática: 14\cdot26=14\cdot(25+1)=14\cdot25+14=350+14=364.

Passo 6

Interpretação final: existem 364 comissões diferentes de 3 pessoas que podem ser formadas a partir das 14 pessoas do escritório. Dica para prova: ao calcular \binom{n}{k} prefira sempre cancelar fatoriais antes de multiplicar tudo — isso evita números muito grandes e facilita o cálculo à mão.

Resposta

364

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