Um determinado escritório de uma empresa é formado por 8 homens e 6 mulheres. O escritório deseja escolher 3 pessoas para formar uma comissão, determine:
a probabilidade de uma comissão ser formada por pelo menos uma mulher;
a probabilidade de uma comissão ser formada por pelo menos uma mulher;
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Há
homens e mulheres no escritório. - Vai-se escolher uma comissão de
pessoas (sem ordem).
O que o problema pede: - Determinar a probabilidade de a comissão escolhida conter pelo menos uma mulher.
Passo 2
Estratégia mais simples para este tipo de pergunta: usar o complemento. A expressão “pelo menos uma mulher” é o complemento do evento “nenhuma mulher” (ou seja, todos os escolhidos são homens). Então
Explico por quê: é mais fácil contar quantos grupos não têm mulheres (só homens) do que contar todos os grupos com 1, 2 ou 3 mulheres separadamente.
Passo 3
Vamos contar quantos subconjuntos possíveis de
pessoas existem no total e quantos desses são só de homens. Para contar subconjuntos usamos combinações. A fórmula da combinação é:
onde:
-
(fatorial) significa , -
é o número total de elementos disponíveis, -
é o tamanho do subgrupo que se escolhe, -
é o número de maneiras de escolher elementos dentre sem considerar ordem.
Passo 4
Calcular o número total de maneiras de escolher
pessoas dentre as
(pois
):
Expliquei o passo: ao desenvolver o fatorial na fração, cancelam-se os termos acima e abaixo, ficando apenas o produto dos três maiores numeradores dividido por
.
Passo 5
Calcular quantas maneiras de escolher
pessoas apenas entre os
homens (evento “nenhuma mulher”):
Passo 6
Agora a probabilidade de não ter nenhuma mulher é o número de comissões só de homens dividido pelo total:
Usei simplificação:
reduz para
.
Passo 7
Finalmente, a probabilidade procurada é o complemento:
Interpretação rápida: dá mais de
de chance de que, ao escolher 3 pessoas aleatoriamente, venha pelo menos uma mulher — faz sentido porque há uma proporção razoável de mulheres no grupo.