Um determinado escritório de uma empresa é formado por 8 homens e 6 mulheres. O escritório deseja escolher 3 pessoas para formar uma comissão, determine:
a probabilidade de uma comissão ser formada por pelo menos uma mulher;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • 8 homens e 6 mulheres no escritório.
  • Vai-se escolher uma comissão de 3 pessoas (sem ordem).
    O que o problema pede:
  • Determinar a probabilidade de a comissão escolhida conter pelo menos uma mulher.

Passo 2

Estratégia mais simples para este tipo de pergunta: usar o complemento. A expressão “pelo menos uma mulher” é o complemento do evento “nenhuma mulher” (ou seja, todos os escolhidos são homens). Então
\Pr(\text{pelo menos uma mulher}) = 1 - \Pr(\text{nenhuma mulher}).
Explico por quê: é mais fácil contar quantos grupos não têm mulheres (só homens) do que contar todos os grupos com 1, 2 ou 3 mulheres separadamente.

Passo 3

Vamos contar quantos subconjuntos possíveis de 3 pessoas existem no total e quantos desses são só de homens. Para contar subconjuntos usamos combinações. A fórmula da combinação é:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde:
  • n! (fatorial) significa n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1,
  • n é o número total de elementos disponíveis,
  • k é o tamanho do subgrupo que se escolhe,
  • \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher k elementos dentre n sem considerar ordem.

Passo 4

Calcular o número total de maneiras de escolher 3 pessoas dentre as 14 (pois 8+6=14):
\binom{14}{3}=\frac{14\cdot13\cdot12}{3\cdot2\cdot1}=364.
Expliquei o passo: ao desenvolver o fatorial na fração, cancelam-se os termos acima e abaixo, ficando apenas o produto dos três maiores numeradores dividido por 3!.

Passo 5

Calcular quantas maneiras de escolher 3 pessoas apenas entre os 8 homens (evento “nenhuma mulher”):
\binom{8}{3}=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}=56.

Passo 6

Agora a probabilidade de não ter nenhuma mulher é o número de comissões só de homens dividido pelo total:
\Pr(\text{nenhuma mulher})=\frac{56}{364}=\frac{2}{13}.
Usei simplificação: 56/364 reduz para 2/13.

Passo 7

Finalmente, a probabilidade procurada é o complemento:
\Pr(\text{pelo menos uma mulher})=1-\frac{2}{13}=\frac{11}{13}\approx 0,84615.
Interpretação rápida: dá mais de 84\% de chance de que, ao escolher 3 pessoas aleatoriamente, venha pelo menos uma mulher — faz sentido porque há uma proporção razoável de mulheres no grupo.

Resposta

\dfrac{11}{13}\approx0,84615

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