No jogo da Sena são sorteadas 6 dezenas distintas entre as dezenas
. O apostador escolhe 6 dessas dezenas e é premiado se são sorteadas 4 (quadra), 5
(quina), 6 (Sena Principal) das dezenas por ele escolhidas. Determine a probabilidade de um apostador fazer:
uma quina;
(quina), 6 (Sena Principal) das dezenas por ele escolhidas. Determine a probabilidade de um apostador fazer:
uma quina;
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- São
dezenas possíveis: . - O organizador sorteia
dezenas distintas. - O apostador escolhe
dezenas. - Paga-se prêmio quando o apostador acerta exatamente
das dezenas sorteadas (quina). - A pergunta: determinar a probabilidade de o apostador fazer uma quina (ou seja, exatamente
acertos).
Passo 2
Como vamos resolver (ideia geral) — contagem combinatória.
- Cada resultado do sorteio é um subconjunto de
dezenas dentre as . O espaço amostral (total de resultados igualmente prováveis) tem tamanho igual ao número de maneiras de escolher elementos entre , que se escreve como . - Para contar casos favoráveis (exatamente
acertos), raciocinamos assim: dentre as dezenas que o apostador marcou, exatamente aparecem no sorteio; a sexta dezena do sorteio deve ser uma dezena que o apostador não marcou. Assim os casos favoráveis são combinações (produto de combinações) — isso é um modelo hipergeométrico. - Antes de calcular, relembre a definição de combinação:
onde é o fatorial de (produto ). Essa fórmula conta o número de subconjuntos de tamanho de um conjunto com elementos.
Passo 3
Contagem do total de resultados possíveis.
- O número total de maneiras de sortear
dezenas distintas de é Podemos também escrever em produto para facilitar cálculo:
Passo 4
Contagem dos casos favoráveis (exatamente
acertos).
- Escolher quais
das dezenas que o apostador marcou aparecem no sorteio: . - A sexta dezena sorteada deve ser escolhida entre as
dezenas que o apostador não marcou: . - Pelo princípio multiplicativo (escolhas independentes de subconjuntos distintos), o número de casos favoráveis é
Passo 5
Montar a probabilidade e substituir valores.
- A probabilidade de exatamente
acertos é - Calcule os termos:
então o numerador vale . - O denominador é conhecido (Mega-Sena):
. (Pode verificar pela fórmula do passo 3.) - Assim
Passo 6
Simplificar a fração e apresentar forma decimal e percentagem.
- Dividindo numerador e denominador por
obtém-se a forma irreduzível - Em forma decimal aproximada:
- Em notação científica:
- Em porcentagem (multiplicando por
): - Força aí — a probabilidade é muito pequena, por isso os prêmios são altos!