No jogo da Sena são sorteadas 6 dezenas distintas entre as dezenas 01,02, \ldots, 60. O apostador escolhe 6 dessas dezenas e é premiado se são sorteadas 4 (quadra), 5
(quina), 6 (Sena Principal) das dezenas por ele escolhidas. Determine a probabilidade de um apostador fazer:
uma quina;

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • São 60 dezenas possíveis: 01,02,\ldots,60.
  • O organizador sorteia 6 dezenas distintas.
  • O apostador escolhe 6 dezenas.
  • Paga-se prêmio quando o apostador acerta exatamente 5 das 6 dezenas sorteadas (quina).
  • A pergunta: determinar a probabilidade de o apostador fazer uma quina (ou seja, exatamente 5 acertos).

Passo 2

Como vamos resolver (ideia geral) — contagem combinatória.
  • Cada resultado do sorteio é um subconjunto de 6 dezenas dentre as 60. O espaço amostral (total de resultados igualmente prováveis) tem tamanho igual ao número de maneiras de escolher 6 elementos entre 60, que se escreve como \dbinom{60}{6}.
  • Para contar casos favoráveis (exatamente 5 acertos), raciocinamos assim: dentre as 6 dezenas que o apostador marcou, exatamente 5 aparecem no sorteio; a sexta dezena do sorteio deve ser uma dezena que o apostador não marcou. Assim os casos favoráveis são combinações (produto de combinações) — isso é um modelo hipergeométrico.
  • Antes de calcular, relembre a definição de combinação: \dbinom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},onde n! é o fatorial de n (produto 1\cdot2\cdot\ldots\cdot n). Essa fórmula conta o número de subconjuntos de tamanho k de um conjunto com n elementos.

Passo 3

Contagem do total de resultados possíveis.
  • O número total de maneiras de sortear 6 dezenas distintas de 60 é \text{Total}=\dbinom{60}{6}.Podemos também escrever em produto para facilitar cálculo: \dbinom{60}{6}=\frac{60\cdot59\cdot58\cdot57\cdot56\cdot55}{6!}.

Passo 4

Contagem dos casos favoráveis (exatamente 5 acertos).
  • Escolher quais 5 das 6 dezenas que o apostador marcou aparecem no sorteio: \dbinom{6}{5}.
  • A sexta dezena sorteada deve ser escolhida entre as 60-6=54 dezenas que o apostador não marcou: \dbinom{54}{1}.
  • Pelo princípio multiplicativo (escolhas independentes de subconjuntos distintos), o número de casos favoráveis é \text{Favoráveis}=\dbinom{6}{5}\cdot\dbinom{54}{1}.á

Passo 5

Montar a probabilidade e substituir valores.
  • A probabilidade de exatamente 5 acertos é P(\text{quina})=\frac{\text{Favoráveis}}{\text{Total}} =\frac{\dbinom{6}{5}\dbinom{54}{1}}{\dbinom{60}{6}}.á
  • Calcule os termos: \dbinom{6}{5}=6,\qquad \dbinom{54}{1}=54,então o numerador vale 6\cdot54=324.
  • O denominador é conhecido (Mega-Sena): \dbinom{60}{6}=50\,063\,860. (Pode verificar pela fórmula do passo 3.)
  • Assim P(\text{quina})=\frac{324}{50\,063\,860}.

Passo 6

Simplificar a fração e apresentar forma decimal e percentagem.
  • Dividindo numerador e denominador por 4 obtém-se a forma irreduzível \frac{81}{12\,515\,965}.
  • Em forma decimal aproximada: P(\text{quina})\approx 0,000006473.
  • Em notação científica: P(\text{quina})\approx 6,473\times10^{-6}.
  • Em porcentagem (multiplicando por 100): P(\text{quina})\approx 0,0006473\%.
  • Força aí — a probabilidade é muito pequena, por isso os prêmios são altos!

Resposta

P(\text{quina})=\frac{\dbinom{6}{5}\dbinom{54}{1}}{\dbinom{60}{6}}=\frac{81}{12\,515\,965}\approx0,000006473

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