Um determinado escritório de uma empresa é formado por 8 homens e 6 mulheres. O escritório deseja escolher 3 pessoas para formar uma comissão, determine:
a probabilidade de uma comissão ser formada por no máximo dois homens.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • 8 homens e 6 mulheres no escritório.
  • Vai-se escolher uma comissão de 3 pessoas (todas as escolhas igualmente prováveis).
  • A pergunta é: qual a probabilidade de a comissão ser formada por no máximo dois homens (ou seja, ter 0, 1 ou 2 homens)?

Passo 2

Vamos contar o número total de comissões possíveis (espaço amostral). Como a ordem não importa ao formar uma comissão, usamos combinações. A combinação \binom{n}{k} representa o número de maneiras de escolher k objetos dentre n sem ordem e sua fórmula é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
onde n! (fatorial de n) é n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1. Aqui n=14 (total de pessoas) e k=3. Então o número total de comissões é
\binom{14}{3}=\frac{14\cdot13\cdot12}{3\cdot2\cdot1}=\frac{2184}{6}=364.

Passo 3

Calcular diretamente o evento “no máximo dois homens” envolve somar os casos com 0, 1 e 2 homens. Porém é mais rápido usar o complementar: o único caso que NÃO queremos é o caso “3 homens”. Usamos a relação
P(\text{no máximo 2 homens})=1-P(\text{3 homens}).á
Vamos contar quantas comissões têm exatamente 3 homens: é escolher 3 homens entre 8, ou seja
\binom{8}{3}=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}=\frac{336}{6}=56.

Passo 4

A probabilidade pedida é então
1-\frac{\binom{8}{3}}{\binom{14}{3}}=1-\frac{56}{364}.
Simplificando a fração \dfrac{56}{364}: divide-se ambos por 28 e obtém-se \dfrac{2}{13}. Portanto
1-\frac{2}{13}=\frac{11}{13}\approx 0,84615.

Passo 5

Verificação alternativa (opcional, só para confirmar): contar diretamente 0, 1 e 2 homens.
  • 0 homens e 3 mulheres: \binom{8}{0}\binom{6}{3}=1\cdot20=20.
  • 1 homem e 2 mulheres: \binom{8}{1}\binom{6}{2}=8\cdot15=120.
  • 2 homens e 1 mulher: \binom{8}{2}\binom{6}{1}=28\cdot6=168.
    Somando 20+120+168=308 comissões favoráveis e 308/364=11/13, confirma o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{11}{13}\approx0,84615

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