Qual o volume ocupado por 1,00 \mathrm{~mol} de um gás ideal nas condições normais de temperatura e pressão (CNTP), ou seja, 1,00 atm e 273 K ? O volume de um gás ideal é reduzido adiabaticamente de 200 L para 74,3 \mathrm{~L}. A pressão e temperatura iniciais são 1,00 \mathrm{~atm} \mathrm{e} 300 K . A pressão final é 4,00 \mathrm{~atm}.
Qual é a temperatura final? Quantos mols existem no gás?

Passo 1

Vou listar exatamente o que o enunciado pede e quais dados ele fornece.
O enunciado faz três perguntas:
  1. Qual o volume ocupado por 1,00 mol de um gás ideal nas CNTP ( P=1,00\\ \mathrm{atm}, T=273\\ \mathrm{K})?
  2. Um gás ideal é comprimido adiabaticamente de 200\\ \mathrm{L} para 74{,}3\\ \mathrm{L}. As condições iniciais são P_1=1{,}00\\ \mathrm{atm} e T_1=300\\ \mathrm{K}. A pressão final é P_2=4{,}00\\ \mathrm{atm}. Qual é a temperatura final T_2?
  3. Quantos mols existem no gás?
Dados relevantes fornecidos:
  • Para a parte (1): n=1{,}00\\ \mathrm{mol}, P=1{,}00\\ \mathrm{atm}, T=273\\ \mathrm{K}.
  • Para as partes (2) e (3): V_1=200\\ \mathrm{L}, V_2=74{,}3\\ \mathrm{L}, P_1=1{,}00\\ \mathrm{atm}, T_1=300\\ \mathrm{K}, P_2=4{,}00\\ \mathrm{atm}.
  • Constante dos gases ideais (usarei): R=0{,}08206\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot K^{-1}\cdot mol^{-1}}.
A resolução começa agora.

Passo 2

Calcular o volume de 1{,}00 mol nas CNTP usando a equação dos gases ideais.
Explicação do conceito/fórmula:
  • A equação dos gases ideais é PV=nRT.
  • Aqui P é a pressão (em \mathrm{atm}), V é o volume (em \mathrm{L}), n é o número de mols, R é a constante dos gases e T é a temperatura em \mathrm{K}.
  • Isolando V obtemos V=\frac{nRT}{P}.
Aplicando aos dados CNTP ( n=1{,}00, R=0{,}08206, T=273, P=1{,}00):
V=\frac{1{,}00\cdot 0{,}08206\cdot 273}{1{,}00}.
Faço as contas:
0{,}08206\cdot 273 = 22{,}39938\quad(\text{aprox.}),
logo
V \approx 22{,}399\\ \mathrm{L}.
Arredondando de forma conveniente (dados com 3 algarismos significativos), fica aproximadamente 22{,}4\\ \mathrm{L}.
Observação didática rápida: você pode memorizar que o volume molar nas CNTP é cerca de 22{,}4\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}}. Isso vem diretamente de V_m = RT/P com T=273\\ \mathrm{K} e P=1\\ \mathrm{atm}.

Passo 3

Determinar quantos mols existem no gás (parte 3). Como o processo é adiabático, trata-se de uma compressão sem troca de matéria: o número de mols n do gás não muda durante o processo. Logo basta usar o estado inicial (P_1,V_1,T_1) e a equação dos gases ideais.
Usando n=\frac{P_1V_1}{RT_1}.
Substituindo P_1=1{,}00\\ \mathrm{atm}, V_1=200\\ \mathrm{L}, R=0{,}08206, T_1=300\\ \mathrm{K}:
n=\frac{1{,}00\cdot 200}{0{,}08206\cdot 300}.
Calculo intermediário:
0{,}08206\cdot 300 = 24{,}618,
n=\frac{200}{24{,}618}\approx 8{,}1219\\ \mathrm{mol}.
Arredondando para três algarismos significativos: n\approx 8{,}12\\ \mathrm{mol}.
Didática: este passo mostra que, para um recipiente fechado, o número de mols é fixo e pode ser obtido com n=P V/(R T) usando qualquer estado conhecido.

Passo 4

Encontrar a temperatura final T_2 usando as leis do processo adiabático reversível para gás ideal.
Explicação teórica:
  • Para uma transformação adiabática reversível de um gás ideal vale a relação P V^{\gamma}=\text{constante}, onde \gamma é a razão dos calores molares \gamma=\dfrac{C_P}{C_V}.
  • A partir daí também decorre T V^{\gamma-1}=\text{constante}.
  • Podemos usar T_2 = T_1\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}.
Mas \gamma não foi dada; ela pode ser encontrada usando a relação P_1V_1^{\gamma}=P_2V_2^{\gamma}. Isolando \gamma:
\frac{P_2}{P_1}=\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma} \quad\Longrightarrow\quad \gamma=\frac{\ln\!\left(\dfrac{P_2}{P_1}\right)}{\ln\!\left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)}.

Passo 5

Calcular \gamma numericamente.
Dados: \dfrac{P_2}{P_1}=\dfrac{4{,}00}{1{,}00}=4{,}00 e \dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{200}{74{,}3}.
Calculo do quociente de volumes:
\frac{V_1}{V_2}=\frac{200}{74{,}3}\approx 2{,}6908.
Agora
\gamma=\frac{\ln(4{,}00)}{\ln(2{,}6908)}.
Avaliação numérica (faço os logs):
\ln(4{,}00)\approx 1{,}38629,\qquad \ln(2{,}6908)\approx 0{,}99030,
\gamma\approx\frac{1{,}38629}{0{,}99030}\approx 1{,}400.
Interpretação didática: \gamma\approx 1{,}40 é o valor típico de um gás diatômico (por exemplo \mathrm{N_2} ou \mathrm{O_2}) sob condições onde vibrações não contribuem muito. Aqui obtivemos \gamma a partir dos dados do processo — perfeito.

Passo 6

Calcular T_2 usando T_2=T_1\left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}.
Já temos T_1=300\\ \mathrm{K}, \dfrac{V_1}{V_2}\approx 2{,}6908, e \gamma-1\approx 0{,}400.
Calcule o fator:
\left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} = 2{,}6908^{0{,}400}\approx e^{0{,}400\cdot\ln(2{,}6908)} \approx e^{0{,}400\cdot 0{,}99030}\approx e^{0{,}3961}\approx 1{,}486.
Logo
T_2\approx 300\cdot 1{,}486 \approx 445{,}8\\ \mathrm{K}.
Arredondando: T_2\approx 446\\ \mathrm{K}.
Verificação alternativa (opcional, útil para a prova): usando a relação equivalente
\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}},
com \dfrac{\gamma-1}{\gamma}\approx \dfrac{0{,}400}{1{,}400}=0{,}286, temos
\frac{T_2}{T_1}=4{,0}^{0{,}286}\approx 1{,}486,
o que dá o mesmo T_2\approx 446\\ \mathrm{K}. Bom sinal — consistência!

Resposta

V_{\text{CNTP}}\approx 22{,}4\\ \mathrm{L}
T_2\approx 446\\ \mathrm{K}
n\approx 8{,}12\\ \mathrm{mol}

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