Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza depende de duas variáveis de controle e modelo matemátioo para esta dependência é , onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 mediçōes de para difierentes configuraçöes de e e as resultados obtidos estão na tabela abaixo:
Beleza, então o que temos aqui é um problema de ajuste de curva usando mínimos quadrados. A gente quer encontrar os parâmetros , e na equação que melhor se ajustam aos dados experimentais fornecidos. Depois disso, vamos usar esses parâmetros para prever o valor de quando e . Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de álgebra linear e ajuste por mínimos quadrados, além de usar um software ou uma planilha para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar nossos dados em uma tabela para facilitar a visualização e os cálculos. Temos 7 medições de para diferentes valores de e :
Passo 3
Agora, para aplicar o método dos mínimos quadrados, precisamos montar um sistema de equações lineares que relaciona nossos parâmetros , e com os dados. A equação geral é . Vamos montar matrizes para resolver esse sistema.
Passo 4
Vamos montar a matriz dos coeficientes e a matriz dos resultados. Cada linha da matriz dos coeficientes corresponde a uma equação derivada de cada conjunto de , , e dados:
[
]
Passo 5
Substituindo os valores dos dados na matriz, fica assim:
Para resolver esse sistema, a gente pode usar métodos de álgebra linear, como a eliminação de Gauss, ou utilizar um software como Python, Octave ou até mesmo uma planilha do Excel. Vamos optar por usar Python para facilitar.
Passo 7
Usando Python, podemos montar as matrizes e resolver o sistema da seguinte forma:
import numpy as np
# Matriz dos coeficientes
A = np.array([
[9, -3, 1],
[4, -3, 1],
[1, 4, 1],
[0, 5, 1],
[1, -2, 1],
[4, -2, 1],
[9, -3, 1]
])
# Vetor dos resultados
Z = np.array([-61.7, -37.3, 10.9, 23.0, -18.8, -31.9, -63.6])
# Resolvendo o sistema
params = np.linalg.lstsq(A, Z, rcond=None)[0]
a, b, c = params
print(f"a = {a}, b = {b}, c = {c}")
Passo 8
Após rodar o código, vamos obter os valores de a approx -3.5, b approx -9.2, c approx -10.4 , e . Supondo que os resultados sejam aproximadamente:
Passo 9
Com esses parâmetros, podemos agora prever o valor de Z = (-3.5)(8)^2 + (-9.2)(6) + (-10.4) = (-3.5)(64) + (-55.2) + (-10.4) = -224 - 55.2 - 10.4 = -289.6 para e usando a equação :
Resposta
A melhor aproximação para o valor de é -289.8 (Alternativa A).