Suponha que em um circuito simples a resistência seja 12 Omega e a indutância seja 4 Henry. Se uma pilha fornecer uma voltagem constante de 60 V e o interruptor for fechado quando t=0, teremos corrente inicial 0A. Sabendo que:
d id t+RL i=E(t)L
O valor máximo que a corrente poderá assumir.
4,5 pts.

Passo 1

O enunciado pede para achar o valor máximo que a corrente em um circuito RL (R=12 Ω, L=4 H) atingirá quando alimentado por uma fonte constante de 60 V a partir de repouso. O conteúdo envolvido é a resolução de uma equação diferencial linear de primeira ordem, própria de circuitos RL, e vamos precisar usar o conceito de regime permanente e constante de tempo.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação diferencial dada e identificamos seus coeficientes. Temos
didt + RLi = EL
com R=12 Ω, L=4 H e E=60 V. Logo, o coeficiente do termo i é
RL = 124 = 3 s^-1
e o termo forçante é
EL = 604 = 15 A/s

Passo 3

Agora, resolvemos a equação diferencial. A solução geral é a soma da homogênea e de uma particular:
• A solução homogênea satisfaz di/dt + 3i = 0, cuja solução é
$$
i_h(t) = C e^{-3t}.$$• Uma solução particular constante basta testar ih(t) = C e^-3t. Substituindo em ip = I0:
di/dt=0
Logo, a solução geral é
$$
i(t) = C e^{-3t} + 5.$$

Passo 4

Aplicamos a condição inicial i(0)=0 para encontrar C:
0 = C e^0 + 5 implies C = -5
Portanto
$$
i(t) = 5\bigl(1 - e^{-3t}\bigr).$$

Passo 5

Para um circuito RL com passo de tensão, a corrente cresce monotonamente de 0 até seu valor de regime permanente. O valor de regime permanente (máximo que a corrente alcança) é o termo constante da solução particular, isto é 5,A.

Resposta

5 A

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