Quando uma equação de Riccati tem coeficientes constantes, podemos calcular soluções particulares
através da resolução de uma equação polinomial e, em seguida, fazemos a mudança de variáveis
transformando a equação de Riccati em uma equação de Bernoulli ou em uma equação linear de primeira ordem. Dê a equação geral de:
3 pts.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de Riccati que é $ y’ - y^{2} + y + 2 = 0 $. A matéria aqui envolve equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente as equações de Riccati. Para resolver, vamos precisar encontrar uma solução particular $ y_1 $ resolvendo uma equação polinomial, e depois fazer uma mudança de variável para simplificar a equação original.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução particular $ y_1 $. Como os coeficientes são constantes, podemos supor que $ y_1 $ é uma constante. Assim, derivando $ y_1 $ teremos $ y’_1 = 0 $. Substituindo na equação original:
Passo 3
Agora, resolvemos a equação quadrática para $ y_1 $:
Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Vamos usar Bhaskara:
Então, as soluções são:
Passo 4
Vamos escolher uma das soluções, digamos $ y_1 = 2 $, e fazer a mudança de variável $ y = y_1 + v $, ou seja, $ y = 2 + v $. Substituindo na equação original:
Passo 5
Calculando as derivadas e expandindo:
Simplificando:
Passo 6
Agora, temos uma equação quadrática em $ v $. Para simplificar, podemos rearranjar:
Esta é uma equação diferencial separável, onde podemos separar as variáveis $ v $ e $ x $:
Passo 7
Integrando ambos os lados:
Fazendo a decomposição em frações parciais:
Então:
Passo 8
Multiplicando ambos os lados por 3 e combinando os logaritmos:
Exponenciando:
Resolvendo para $ v $:
Passo 9
Lembrando que $ y = 2 + v $:
Podemos simplificar a constante $ K $ para $ C $:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.