Quando uma equação de Riccati tem coeficientes constantes, podemos calcular soluções particulares y1 através da resolução de uma equação polinomial e, em seguida, fazemos a mudança de variáveis y=y1+v transformando a equação de Riccati em uma equação de Bernoulli ou em uma equação linear de primeira ordem. Dê a equação geral de:
y^prime-y^2+y+2=0
3 pts.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Riccati que é $ y’ - y^{2} + y + 2 = 0 $. A matéria aqui envolve equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente as equações de Riccati. Para resolver, vamos precisar encontrar uma solução particular $ y_1 $ resolvendo uma equação polinomial, e depois fazer uma mudança de variável para simplificar a equação original.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução particular $ y_1 $. Como os coeficientes são constantes, podemos supor que $ y_1 $ é uma constante. Assim, derivando $ y_1 $ teremos $ y’_1 = 0 $. Substituindo na equação original:
y1

Passo 3

Agora, resolvemos a equação quadrática para $ y_1 $:
y1
Podemos fatorar ou usar a fórmula de Bhaskara. Vamos usar Bhaskara:
-y1^2 + y1 + 2 = 0 Rightarrow y1^2 - y1 - 2 = 0
Então, as soluções são:
y1 = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32

Passo 4

Vamos escolher uma das soluções, digamos $ y_1 = 2 $, e fazer a mudança de variável $ y = y_1 + v $, ou seja, $ y = 2 + v $. Substituindo na equação original:
y1 = 2

Passo 5

Calculando as derivadas e expandindo:
v' - (4 + 4v + v^2) + 2 + v + 2 = 0
Simplificando:
v' - v^2 - 3v = 0

Passo 6

Agora, temos uma equação quadrática em $ v $. Para simplificar, podemos rearranjar:
v
Esta é uma equação diferencial separável, onde podemos separar as variáveis $ v $ e $ x $:
v' = v^2 + 3v

Passo 7

Integrando ambos os lados:
integral 1v(v + 3) dv = integral dx
Fazendo a decomposição em frações parciais:
1v(v + 3) = 13 ( 1v - 1v + 3 )
Então:
13 ln|v| - 13 ln|v + 3| = x + C

Passo 8

Multiplicando ambos os lados por 3 e combinando os logaritmos:
ln|vv + 3| = 3x + C'
Exponenciando:
vv + 3 = Ke^3x onde K = e^C'
Resolvendo para $ v $:
v

Passo 9

Lembrando que $ y = 2 + v $:
y = 2 + v
Podemos simplificar a constante $ K $ para $ C $:
y = 2 + 3K e^3x1 - K e^3x

Resposta

A solução geral da equação é:
y(x) = 2 + 3C e^3x1 - C e^3x
Onde $ C $ é uma constante arbitrária.

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