Seja x[n] periódico com período N=10, com
x[n]=ll 1, & 0 <= n <= 7 0, & 8 <= n <= 9
Determine os coeficientes da Série de Fourier de x[n] para k neq 0.

Passo 1

O enunciado pede para achar os coeficientes da Série de Fourier discreta de um sinal periódico de período N=10, definido por x[n]=1 para 0<= n<=7 e x[n]=0 para 8<= n<=9. Vamos usar a definição de Série de Fourier para sinais discretos periódicos.

Passo 2

A fórmula geral para o coeficiente ak de um sinal x[n] de período N é
ak=1Nsumn=0^N-1x[n]e^-j2piNkn

Passo 3

Como x[n]=0 para n=8,9, a soma fica só de n=0 a 7:
ak=110sumn=0^7e^-j2pi10kn
Isso é uma série geométrica com razão r=e^-j2pi10k e 8 termos.

Passo 4

Usando a fórmula da soma de termos de uma progressão geométrica,
sumn=0^7r^n=1-r^81-r,
temos
ak=1101-e^-j2pi10kcdot81-e^-j2pi10k =1101-e^-j16pi10k1-e^-j2pi10k

Passo 5

Para deixar num formato mais insightfull, aplicamos a identidade
sumn=0^M-1e^-jalpha n=e^-jalphaM-12sin(Malpha2)sin(alpha2),
com M=8 e alpha=tfrac2pi10k. Assim
ak=110e^-j7pi10ksinl(tfrac8pi10kr)sinl(tfracpi10kr), kneq0

Passo 6

Este é o resultado final para $k\neq0.

Resposta

Para kneq0:
ak=1101-e^-j16pi10k1-e^-j2pi10k= 110e^-j7pi10ksinl(tfrac8pi10kr)sinl(tfracpi10kr)

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