Q13: Considere as afirmativas abaixo:
I - Um conjunto LI pode gerar o espaço todo.
II - Todo subconjunto de um conjunto LI é LI.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas II é verdadeira.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Apenas I é verdadeira.

Passo 1

O enunciado dá duas afirmativas sobre vetores/conjuntos e pede para decidir quais são verdadeiras:
I - Um conjunto LI pode gerar o espaço todo.
II - Todo subconjunto de um conjunto LI é LI.
O objetivo é dizer, para cada afirmativa, se ela é verdadeira ou falsa e então escolher a alternativa correta entre (A)–(D).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar bem o que significam os termos (com calma, passo a passo).
Definição de linearmente independente (LI):
Seja S=\{v_1,\dots,v_k\} um conjunto finito de vetores de um espaço vetorial V. Dizemos que S é linearmente independente se, sempre que
\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\dots+\alpha_k v_k=0
com escalares \alpha_1,\dots,\alpha_k, então necessariamente \alpha_1=\alpha_2=\dots=\alpha_k=0.
Explicando: a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação em que todos os coeficientes são zero. Isso significa que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Definição de gerar o espaço (span):
Dizemos que um conjunto S gera o espaço V (ou que \text{span}(S)=V) quando todo vetor v\in V pode ser escrito como combinação linear de vetores de S. Em linguagem: para todo v\in V existem escalares \beta_i tais que v=\sum_i \beta_i s_i com s_i\in S.
Observação (conceito útil):
Um conjunto que é simultaneamente LI e gera V chama-se base de V.

Passo 3

Analisando a afirmativa I: “Um conjunto LI pode gerar o espaço todo.”
Isto pergunta se existe ao menos um conjunto LI que gera todo o espaço. A resposta é: sim, isso é possível — exemplos concretos deixam isso claro.
Exemplo simples em \mathbb{R}^2: considere
S=\{(1,0),(0,1)\}.
Mostre que gera \mathbb{R}^2: dado qualquer (x,y)\in\mathbb{R}^2,
(x,y)=x\,(1,0)+y\,(0,1),
logo \text{span}(S)=\mathbb{R}^2. Mostre que é LI: se \alpha(1,0)+\beta(0,1)=(0,0) então (\alpha,\,\beta)=(0,0), logo \alpha=\beta=0. Assim S é LI e gera \mathbb{R}^2.
Comentário: conjuntos LI que geram o espaço são justamente as bases. Em muitas situações (por exemplo em \mathbb{R}^n) existe sempre uma base; portanto é perfeitamente possível que um conjunto LI gere o espaço todo. Assim a afirmativa I é verdadeira.

Passo 4

Analisando a afirmativa II: “Todo subconjunto de um conjunto LI é LI.”
Vamos provar isso formalmente (é uma propriedade básica e útil).
Seja S um conjunto LI e seja T\subseteq S um subconjunto. Queremos mostrar que T também é LI.
Prova direta: suponha que T=\{w_1,\dots,w_m\} e que exista uma combinação linear
\gamma_1 w_1+\gamma_2 w_2+\dots+\gamma_m w_m=0.
Como cada w_j pertence a S, essa é uma combinação linear dos vetores de S. Mas S é LI, então todos os coeficientes dessa combinação devem ser zero: \gamma_1=\gamma_2=\dots=\gamma_m=0. Logo a única combinação linear de T que dá zero é a trivial, e portanto T é LI.
Observação prática: é impossível que um conjunto LI contenha o vetor zero, pois \{0\} é linearmente dependente; assim nenhum subconjunto fará surgir dependência inesperada. Em resumo, propriedade válida: qualquer subconjunto de um conjunto LI é LI. Logo a afirmativa II é verdadeira.

Passo 5

Conclusão das análises: a afirmativa I é verdadeira (existe, por exemplo, uma base LI que gera o espaço) e a afirmativa II também é verdadeira (subconjuntos de conjuntos LI permanecem LI, prova direta acima).
Um resumo rápido e amigável: I = verdadeiro; II = verdadeiro.

Resposta

(C)

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