Q13: Considere as afirmativas abaixo:
I - Um conjunto LI pode gerar o espaço todo.
II - Todo subconjunto de um conjunto LI é LI.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas II é verdadeira.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Apenas I é verdadeira.
I - Um conjunto LI pode gerar o espaço todo.
II - Todo subconjunto de um conjunto LI é LI.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas II é verdadeira.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Apenas I é verdadeira.
Passo 1
O enunciado dá duas afirmativas sobre vetores/conjuntos e pede para decidir quais são verdadeiras:
I - Um conjunto LI pode gerar o espaço todo.
II - Todo subconjunto de um conjunto LI é LI.
I - Um conjunto LI pode gerar o espaço todo.
II - Todo subconjunto de um conjunto LI é LI.
O objetivo é dizer, para cada afirmativa, se ela é verdadeira ou falsa e então escolher a alternativa correta entre (A)–(D).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar bem o que significam os termos (com calma, passo a passo).
Definição de linearmente independente (LI):
Seja um conjunto finito de vetores de um espaço vetorial
. Dizemos que
é linearmente independente se, sempre que
Seja
com escalares
, então necessariamente
.
Explicando: a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação em que todos os coeficientes são zero. Isso significa que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Explicando: a única combinação linear que dá o vetor nulo é a combinação em que todos os coeficientes são zero. Isso significa que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros.
Definição de gerar o espaço (span):
Dizemos que um conjunto gera o espaço
(ou que
) quando todo vetor
pode ser escrito como combinação linear de vetores de
. Em linguagem: para todo
existem escalares
tais que
com
.
Dizemos que um conjunto
Observação (conceito útil):
Um conjunto que é simultaneamente LI e gera chama-se base de
.
Um conjunto que é simultaneamente LI e gera
Passo 3
Analisando a afirmativa I: “Um conjunto LI pode gerar o espaço todo.”
Isto pergunta se existe ao menos um conjunto LI que gera todo o espaço. A resposta é: sim, isso é possível — exemplos concretos deixam isso claro.
Exemplo simples em
: considere
Mostre que gera
: dado qualquer
,
logo
. Mostre que é LI: se
então
, logo
. Assim
é LI e gera
.
Comentário: conjuntos LI que geram o espaço são justamente as bases. Em muitas situações (por exemplo em
) existe sempre uma base; portanto é perfeitamente possível que um conjunto LI gere o espaço todo. Assim a afirmativa I é verdadeira.
Passo 4
Analisando a afirmativa II: “Todo subconjunto de um conjunto LI é LI.”
Vamos provar isso formalmente (é uma propriedade básica e útil).
Seja
um conjunto LI e seja
um subconjunto. Queremos mostrar que
também é LI.
Prova direta: suponha que
e que exista uma combinação linear
Como cada
pertence a
, essa é uma combinação linear dos vetores de
. Mas
é LI, então todos os coeficientes dessa combinação devem ser zero:
. Logo a única combinação linear de
que dá zero é a trivial, e portanto
é LI.
Observação prática: é impossível que um conjunto LI contenha o vetor zero, pois
é linearmente dependente; assim nenhum subconjunto fará surgir dependência inesperada. Em resumo, propriedade válida: qualquer subconjunto de um conjunto LI é LI. Logo a afirmativa II é verdadeira.
Passo 5
Conclusão das análises: a afirmativa I é verdadeira (existe, por exemplo, uma base LI que gera o espaço) e a afirmativa II também é verdadeira (subconjuntos de conjuntos LI permanecem LI, prova direta acima).
Um resumo rápido e amigável: I = verdadeiro; II = verdadeiro.
Resposta
(C)