Q15: Um sistema linear de
equações em 8 incógnitas tem como conjunto-solução uma reta em
. Um possível valor para
é:
(A) 5
(B) 10
(C) 6
(D) 1
(A) 5
(B) 10
(C) 6
(D) 1
Passo 1
O enunciado diz que temos um sistema linear com
equações e
incógnitas, cujo conjunto- solução é uma reta em
. As opções dadas são:
- (A)
- (B)
- (C)
- (D)
O que é pedido: escolher qual desses valores de
pode ocorrer quando a solução do sistema é uma reta.
Passo 2
Conceito-chave (explicado devagar e com carinho): escrevemos o sistema como
, onde
é uma matriz
,
e
. Se o sistema for consistente (ou seja, tem pelo menos uma solução), o conjunto de soluções é um subespaço afim: é a soma de uma solução particular com o espaço nulo de
. O espaço nulo de
tem dimensão igual a
Aqui
é o posto da matriz
, isto é, o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes. Em palavras: o número de graus de liberdade da solução (quantos parâmetros livres) é
.
Passo 3
Aplicando ao problema: se o conjunto-solução é uma reta, ele é um subespaço afim de dimensão
. Assim precisamos de
Daí
Passo 4
Relacionando posto e número de equações: sempre vale
. Como queremos
, isso força
Ou seja, o número de equações
tem de ser pelo menos
.
Passo 5
Agora verificamos as opções fornecidas (colocando cada número em TeX para ficar certinho):
. Destas, apenas
satisfaz
. Logo, entre as opções dadas, apenas
é compatível com
.
Passo 6
Construção concreta (para ficar seguro de que é realmente possível): tomar uma matriz
de tamanho
de posto
(ou seja, com 7 linhas independentes). Empilhar abaixo de
três linhas que sejam combinações lineares das 7 primeiras (portanto não aumentam o posto) produz uma matriz
de tamanho
com
. Escolhendo
de modo consistente (por exemplo, tomando o mesmo procedimento nas componentes de
), o sistema
terá conjunto de soluções igual a uma reta. Assim
é realmente possível.
Passo 7
Resumo mental rápido: solução é reta
dimensão do espaço de soluções
posto
precisa ser
. Das opções dadas, só
funciona. Vai dar certo na prova — respira e segue em frente!