Q15: Um sistema linear de m equações em 8 incógnitas tem como conjunto-solução uma reta em \mathbb{R}^{8}. Um possível valor para m é:
(A) 5
(B) 10
(C) 6
(D) 1

Passo 1

O enunciado diz que temos um sistema linear com m equações e 8 incógnitas, cujo conjunto- solução é uma reta em \mathbb{R}^{8}. As opções dadas são:
  • (A) 5
  • (B) 10
  • (C) 6
  • (D) 1
O que é pedido: escolher qual desses valores de m pode ocorrer quando a solução do sistema é uma reta.

Passo 2

Conceito-chave (explicado devagar e com carinho): escrevemos o sistema como A x = b, onde A é uma matriz m\times 8, x\in\mathbb{R}^{8} e b\in\mathbb{R}^{m}. Se o sistema for consistente (ou seja, tem pelo menos uma solução), o conjunto de soluções é um subespaço afim: é a soma de uma solução particular com o espaço nulo de A. O espaço nulo de A tem dimensão igual a
\dim(\ker A)=8-\operatorname{rank}(A).
Aqui \operatorname{rank}(A) é o posto da matriz A, isto é, o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes. Em palavras: o número de graus de liberdade da solução (quantos parâmetros livres) é 8-\operatorname{rank}(A).

Passo 3

Aplicando ao problema: se o conjunto-solução é uma reta, ele é um subespaço afim de dimensão 1. Assim precisamos de
8-\operatorname{rank}(A)=1.
Daí
\operatorname{rank}(A)=7.

Passo 4

Relacionando posto e número de equações: sempre vale \operatorname{rank}(A)\le\min(m,8). Como queremos \operatorname{rank}(A)=7, isso força
m\ge 7.
Ou seja, o número de equações m tem de ser pelo menos 7.

Passo 5

Agora verificamos as opções fornecidas (colocando cada número em TeX para ficar certinho): 5,\;10,\;6,\;1. Destas, apenas 10 satisfaz m\ge 7. Logo, entre as opções dadas, apenas m=10 é compatível com \operatorname{rank}(A)=7.

Passo 6

Construção concreta (para ficar seguro de que é realmente possível): tomar uma matriz A_0 de tamanho 7\times 8 de posto 7 (ou seja, com 7 linhas independentes). Empilhar abaixo de A_0 três linhas que sejam combinações lineares das 7 primeiras (portanto não aumentam o posto) produz uma matriz A de tamanho 10\times 8 com \operatorname{rank}(A)=7. Escolhendo b de modo consistente (por exemplo, tomando o mesmo procedimento nas componentes de b), o sistema A x=b terá conjunto de soluções igual a uma reta. Assim m=10 é realmente possível.

Passo 7

Resumo mental rápido: solução é reta \Rightarrow dimensão do espaço de soluções =1 \Rightarrow posto =7 \Rightarrow m precisa ser \ge 7. Das opções dadas, só 10 funciona. Vai dar certo na prova — respira e segue em frente!

Resposta

(B)\\\ 10

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