Determinado grupo de alunos variou a tensão entre os terminais A e B de certo circuito, variando-a de 0,2 \mathrm{~V} e, paralelamente, mediu corrente em mA deste mesmo circuito com dois multímetros diferentes, de modo que o erro do multímetro associado a tensão era de \pm 1,5 \% e o do multímetro associado a corrente era de \pm 0,5 \%. Sabendo que eles iniciaram com um valor de tensão de 1,8 \mathrm{~V}. Faça o que se pede:
\mathrm{U}[\mathrm{V}] \mathrm{I}[\mathrm{mA}]
1,80 4,37
1,60 4,80
1,40 5,42
1,20 6,90
1,00 8,08
0,80 8,46
0,60 8,89
0,40 10,64
0,20 11,71
a) Calcule a resistência R para cada par de valores ( I, V_{a b} ) encontrado.
b) Propague os erros das resistências encontradas e esboce-as na forma padrão.
c) Sabendo que os alunos trabalhavam com um circuito com fem ideal. Obtenha a expressão para a potência total P_{t} de uma fonte de tensão e expresse-a em função de (\varepsilon, r, R).
d) Construa o gráfico V vs I. Que tipo de dependência foi encontrada no gráfico? Justifique se o gráfico está de acordo com o esperado teoricamente. Usando o método de mínimos quadrados determine os valores de ( \varepsilon, r ).

Passo 1

O enunciado dá nove pares de medidas de tensão U_{AB} (em volts) e corrente I (em miliampères), com erros relativos do voltímetro de \pm1{,}5\% e do amperímetro de \pm0{,}5\%.
Conteúdos envolvidos: Lei de Ohm para calcular R=U/I, fórmula de propagação de erros em quociente, análise de potência em fonte com fem \varepsilon e resistência interna r, e ajuste linear ( V vs I) por mínimos quadrados para estimar \varepsilon e r.

Passo 2

Para cada par (U,I) convertemos I para ampères e aplicamos
R=\frac{U}{I}\,.
Segue a tabela de R:
\begin{array}{c|c|c|c} U\;[\mathrm V] & I\;[\mathrm{mA}] & I\;[\mathrm A] & R\;[\Omega] \\\ \hline 1,80 & 4,37 & 4{,}37\times10^{-3} & 412{,}6\\\\ 1,60 & 4,80 & 4{,}80\times10^{-3} & 333{,}3\\\\ 1,40 & 5,42 & 5{,}42\times10^{-3} & 258{,}3\\\\ 1,20 & 6,90 & 6{,}90\times10^{-3} & 173{,}9\\\\ 1,00 & 8,08 & 8{,}08\times10^{-3} & 123{,}8\\\\ 0,80 & 8,46 & 8{,}46\times10^{-3} & 94{,}6\\\\ 0,60 & 8,89 & 8{,}89\times10^{-3} & 67{,}5\\\\ 0,40 &10,64 &10{,}64\times10^{-3} & 37{,}6\\\\ 0,20 &11,71 &11{,}71\times10^{-3} & 17{,}1 \end{array}

Passo 3

Para R=U/I, a incerteza relativa é
\left(\frac{\Delta R}{R}\right)^2 =\Bigl(\frac{\Delta U}{U}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{\Delta I}{I}\Bigr)^2 =(0{,}015)^2+(0{,}005)^2=2{,}5\times10^{-4},
logo \Delta R/R=0{,}015811. Assim \Delta R=0{,}015811\,R. Na forma padrão:
\begin{array}{c|c} R\;[\Omega] & \Delta R\;[\Omega] \\\ \hline 412{,}6 & 6{,}5\\\\ 333{,}3 & 5{,}3\\\\ 258{,}3 & 4{,}1\\\\ 173{,}9 & 2{,}8\\\\ 123{,}8 & 2{,}0\\\\ 94{,}6 & 1{,}5\\\\ 67{,}5 & 1{,}1\\\\ 37{,}6 & 0{,}6\\\\ 17{,}1 & 0{,}3 \end{array}
Logo, por exemplo, R(1{,}80\,\mathrm V,4{,}37\,\mathrm{mA})=412{,}6\pm6{,}5\\ \Omega, etc.

Passo 4

Em um circuito com fem ideal \varepsilon e resistência interna r ligado a carga R, a potência total fornecida pela fonte é
P_{t}=\varepsilon\,I \quad\text{e, como }I=\frac{\varepsilon}{R+r}, \quad P_{t}=\frac{\varepsilon^2}{R+r}.

Passo 5

O gráfico de V=U_{AB} versus I deve ser linear decrescente, pois
V=\varepsilon - r\,I.
Aplicando mínimos quadrados (convertendo I para ampères) obtemos
m=\frac{n\sum VI-(\sum V)(\sum I)}{n\sum I^2-(\sum I)^2}\approx -211{,}6\\ \Omega, \quad b=\frac{\sum V - m\,\sum I}{n}\approx 2{,}63\\ \mathrm V.
Logo \varepsilon=b=2{,}63\\ \mathrm V e r=-m=211{,}6\\ \Omega. O comportamento linear confirma a teoria de uma fonte com resistência interna.

Resposta

(a) Os R calculados estão na tabela do Passo 2.
(b) Os erros \Delta R estão na tabela do Passo 3, mostrando R\pm\Delta R.
(c) \displaystyle P_{t}=\varepsilon\,I e, em função de (\varepsilon,r,R), \displaystyle P_{t}=\frac{\varepsilon^2}{R+r}.
(d) O gráfico V vs I é linear decrescente ( V=\varepsilon - rI), compatível com teoria. Pelos mínimos quadrados encontrou-se \varepsilon\approx2{,}63\\ \mathrm V e r\approx211{,}6\\ \Omega.

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