Um oscilador, quando não amortecido, possui período igual a \tau_{0}=2,0 \mathrm{~s}, quando um pequeno amortecimento é introduzido, observa-se que a amplitude cai 50 \% após um período \tau_{1}. Quão grande é o parâmetro de amortecimento \beta quando comparado a frequência de oscilações livres \omega_{0} ? Qual o valor de \tau_{1} ?

Passo 1

O enunciado diz que um oscilador não amortecido tem período \tau_{0}=2{,}0\\ \mathrm{s}, logo
\omega_{0}=\frac{2\pi}{\tau_{0}}=\frac{2\pi}{2{,}0}=\pi\\ \mathrm{s^{-1}}.
Quando introduzimos um amortecimento leve, a amplitude decai de forma exponencial e o oscilador passa a ter período \tau_{1} e frequência amortecida \omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\beta^{2}}. Vamos achar \beta/\omega_{0} e \tau_{1}.

Passo 2

A amplitude A(t) de um oscilador amortecido decai como
A(t)=A_{0}\,e^{-\beta t}.
Depois de um período \tau_{1}, a amplitude cai a metade, ou seja
\frac{A(\tau_{1})}{A_{0}}=e^{-\beta \tau_{1}}=\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad \beta\,\tau_{1}=\ln 2 \quad\Longrightarrow\quad \tau_{1}=\frac{\ln 2}{\beta}.

Passo 3

Por outro lado, a relação entre \tau_{1} e a frequência amortecida \omega_{d} é
\tau_{1}=\frac{2\pi}{\omega_{d}} \quad\text{com}\quad \omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\beta^{2}}.

Passo 4

Definimos b=\beta/\omega_{0}. Então
\omega_{d}=\omega_{0}\sqrt{1-b^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \tau_{1}=\frac{2\pi}{\omega_{0}\sqrt{1-b^{2}}}.
Igualando aos dois atos de \tau_{1}:
\frac{\ln 2}{\beta}=\frac{2\pi}{\omega_{0}\sqrt{1-b^{2}}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\ln 2}{b\,\omega_{0}}=\frac{2\pi}{\omega_{0}\sqrt{1-b^{2}}}.
Cancelando \omega_{0} e isolando, obtemos
\ln 2\,\sqrt{1-b^{2}}=2\pi\,b \quad\Longrightarrow\quad (\ln 2)^{2}(1-b^{2})=4\pi^{2}b^{2}.

Passo 5

Resolvendo para b^{2}:
(\ln 2)^{2}- (\ln 2)^{2}b^{2}=4\pi^{2}b^{2} \quad\Longrightarrow\quad b^{2}\bigl((\ln 2)^{2}+4\pi^{2}\bigr)=(\ln 2)^{2} \quad\Longrightarrow\quad b^{2}=\frac{(\ln 2)^{2}}{(\ln 2)^{2}+4\pi^{2}}.
Numericamente, \ln 2\approx0{,}6931, então
b^{2}\approx\frac{0{,}6931^{2}}{0{,}6931^{2}+4\pi^{2}} =\frac{0{,}4809}{0{,}4809+39{,}4784} \approx0{,}01204 \quad\Longrightarrow\quad b\approx0{,}1097\approx0{,}11.

Passo 6

Logo
\frac{\beta}{\omega_{0}}=b\approx0{,}11.
Para encontrar \tau_{1}, usamos \tau_{1}=\ln2/\beta. Como \beta=b\,\omega_{0}\approx0{,}11\cdot\pi\approx0{,}345\\ \mathrm{s^{-1}},
\tau_{1}=\frac{\ln2}{\beta}\approx\frac{0{,}6931}{0{,}345}\approx2{,}01\\ \mathrm{s}.

Resposta

\displaystyle \frac{\beta}{\omega_{0}}\approx0{,}11,\quad \tau_{1}\approx2{,}01\\ \mathrm{s}.

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