Dois grupos, grupo 1 e grupo 2 respectivamente, fizeram medidas em circuitos de corrente contínua com fems reais, de modo que iniciaram com uma tensão de 0,5 \mathrm{~V} atingindo 1,0 \mathrm{~V}, variando de 0,1 \mathrm{~V}. Paralelamente eles mediram a corrente do circuito e obtiveram os seguintes resultados:
\mathrm{I}[\mathrm{mA}] \mathrm{U}[\mathrm{V}]
9,53 \pm 0,047 0,50 \pm 0,075
10,40 \pm 0,052 0,60 \pm 0,009
11,29 \pm 0,056 0,70 \pm 0,0105
12,17 \pm 0,061 0,80 \pm 0,012
13,04 \pm 0,065 0,90 \pm 0,0135
13,97 \pm 0,070 1,00 \pm 0,015
\mathrm{I}[\mathrm{mA}] \mathrm{U}[\mathrm{V}]
9,523 \pm 0,005 0,50 \pm 0,075
8,642 \pm 0,005 0,60 \pm 0,009
7,761 \pm 0,005 0,70 \pm 0,0105
6,884 \pm 0,005 0,80 \pm 0,012
6,013 \pm 0,005 0,90 \pm 0,0135
5,221 \pm 0,005 1,00 \pm 0,015
Analisando as tabelas e sabendo que o erro do multímetro associado a tensão era de \pm 1,5 \% e o do multímetro associado a corrente era de \pm 0,5 \%. Faça o que se pede:
a) Discuta sobre a apresentação dos dados em ambos os grupos, isto é, se a apresentação está coerente em relação aos resultados reforçarem os princípios físicos, se a apresentação está dentro da norma padrão e qual(is) dos dois grupos obteve(iveram) os resultados de maneira adequada.
b) Para o(s) grupo(s) que realizou(aram) adequadamente as medições, verifique se o erro está calculado de maneira correta, caso não esteja, calcule e expresse uma nova tabela adequadamente.
c) Calcule a resistência para cada par de medida de tensão e corrente realizada. Realize o cálculo e a propagação de erro corretamente.
d) Construa o gráfico V vs I. Que tipo de dependência foi encontrada no gráfico? Justifique se o gráfico está de acordo com o esperado teoricamente. Usando o método de mínimos quadrados determine os valores de ( \varepsilon, r ).
e) Construa o gráfico P_{t} vs R e P_{u} vs R com a mesma escala.
f) Obtenha do gráfico P_{u} vs R o valor de R para o qual P_{u} é máximo. Este valor corresponde a quê? Compare-o com o valor obtido no item 1. Qual foi o método mais preciso? Justifique.
g) Encontre o valor de P_{\text {máx }}á substituindo os valores de e r obtidos no item d e compare-o com o valor obtido do gráfico P_{u} vs R. Discuta sobre o gráfico, comente qual dependência foi encontrada e o que é possível concluir sobre a lei de Ohm. Foi possível atestá-la no experimento?
h) O que podemos dizer sobre o rendimento? Ele é constante? Atinge 100 \% ?

Passo 1

O enunciado apresenta duas séries de medições de tensão U e corrente I em circuitos de corrente contínua com fonte de tensão real (com resistência interna). Cada grupo variou a tensão terminal de 0{,}50,V até 1{,}00,V e registrou a corrente correspondente, atribuindo incertezas de instrumento: voltímetro com erro de \pm1{,}5\% e amperímetro com erro de \pm0{,}5\%. Vamos comparar as duas apresentações em relação à coerência física (tendência esperada de U vs.\ I para fonte com resistência interna), à norma de expressão de incerteza e indicar qual grupo realizou a medição de forma adequada. Em seguida, para o grupo adequado, recalcularemos as incertezas corretamente, calcularemos a resistência interna e a fem por mínimos quadrados, voltaremos aos cálculos de R, potências e rendimento.

Passo 2

(a) Discussão das apresentações
O comportamento teórico de uma fonte real é
U = \varepsilon - r\,I
ou seja, ao aumentar a corrente I (carregar mais a fonte), a tensão terminal U cai.
  • No Grupo 1, conforme U aumenta de 0{,}50 a 1{,}00,V, a corrente cresce de 9{,}53 a 13{,}97,mA. Isso é o oposto do esperado em uma fonte real; parece que o grupo usou uma fonte externa e mediu um resistor ôhmico, não explorou a resistência interna da fonte.
  • No Grupo 2, U cresce de 0{,}50 a 1{,}00,V enquanto I decresce de 9{,}523 para 5{,}221,mA, exibindo a tendência U\downarrow quando I\uparrow invertida, mas de fato mostra que quanto menor a corrente, mais próximo de \varepsilon a tensão terminal. Isso é coerente com a expressão U=\varepsilon - rI.
Quanto às incertezas:
  • O Grupo 1 calculou corretamente \Delta I=\pm0{,}5\% de cada corrente, mas cometeu um erro de escrita em \Delta U para U=0{,}50,V (deveria ser \pm0{,}0075,V, não \pm0{,}075,V).
  • O Grupo 2 usou \Delta U=\pm1{,}5\% corretamente em todas as tensões, mas adotou um valor fixo \Delta I=\pm0{,}005,mA, muito menor que o correto \pm0{,}5\% das correntes (por exemplo, em 9{,}523,mA o erro é \pm0{,}0476,mA).
Conclusão: apenas o Grupo 2 fez o experimento adequado para investigar a resistência interna da fonte (tendência de U vs.\ I compatível com U=\varepsilon - rI), mas precisaremos corrigir suas incertezas de corrente.

Passo 3

(b) Correção das incertezas do Grupo 2
Para cada medida de corrente I, o erro correto é
\Delta I = 0{,}5\%\times I.
A tabela corrigida (convertendo correntes para mA e tensões para V) fica:
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline I\\ (\mathrm{mA}) & \Delta I\\ (\mathrm{mA}) & U\\ (\mathrm{V}) & \Delta U\\ (\mathrm{V})\\\ \hline 9{,}523 & 0{,}0476 & 0{,}50 & 0{,}0075\\\\ 8{,}642 & 0{,}0432 & 0{,}60 & 0{,}0090\\\\ 7{,}761 & 0{,}0388 & 0{,}70 & 0{,}0105\\\\ 6{,}884 & 0{,}0344 & 0{,}80 & 0{,}0120\\\\ 6{,}013 & 0{,}0301 & 0{,}90 & 0{,}0135\\\\ 5{,}221 & 0{,}0261 & 1{,}00 & 0{,}0150\\\ \hline \end{array}

Passo 4

(c) Cálculo de R e propagação de erro
Para cada par (U,I) definimos
R = \frac{U}{I}\,,\quad \frac{\Delta R}{R} = \sqrt{\Bigl(\frac{\Delta U}{U}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{\Delta I}{I}\Bigr)^2}\,, \quad \Delta R = R\,\frac{\Delta R}{R}.
Convertendo I para ampère e usando \Delta I,\Delta U da tabela:
\begin{array}{|c|c|c|} \hline U\\ (\mathrm{V}),\\ I\\ (\mathrm{mA}) & R\\ (\Omega) & \Delta R\\ (\Omega)\\\ \hline 0{,}50,\\\ 9{,}523 & 52{,}5 & 0{,}8\\\\ 0{,}60,\\\ 8{,}642 & 69{,}4 & 1{,}1\\\\ 0{,}70,\\\ 7{,}761 & 90{,}2 & 1{,}4\\\\ 0{,}80,\\\ 6{,}884 & 116{,}2 & 1{,}8\\\\ 0{,}90,\\\ 6{,}013 & 149{,}7 & 2{,}2\\\\ 1{,}00,\\\ 5{,}221 & 191{,}5 & 2{,}6\\\ \hline \end{array}

Passo 5

(d) Gráfico U vs.\ I e mínimos quadrados
Plotando U em função de I (em ampère) obtém-se uma reta decrescente. Essa dependência é linear, conforme a teoria de fonte real U=\varepsilon - r\,I. Pelo método dos mínimos quadrados:
U = A + B\,I
com
B = -\;120{,}0\;\mathrm{\tfrac{V}{A}}, \quad A = 1{,}63\;\mathrm{V}.
Logo a fem da fonte é
\varepsilon = A = 1{,}63\;\mathrm{V},
e a resistência interna é
r = -\,B = 120\;\Omega.

Passo 6

(e) Gráficos P_t vs.\ R e P_u vs.\ R
Definimos para cada ponto:
R = \frac{U}{I}, \quad P_u = U\,I, \quad P_t = \varepsilon\,I.
Construindo em mesmo eixo R no eixo horizontal e P_t, P_u no vertical, vemos que P_u(R) tem máximo em R=r e P_t(R) cresce monotonicamente.

Passo 7

(f) Valor de R de potência máxima P_u
Do gráfico de P_u vs.\ R encontra-se o máximo em
R_{\max} \approx 120\;\Omega,
que corresponde à condição de máxima transferência de potência ( R= r). Esse valor coincide com o obtido em (d). O método gráfico e o dos mínimos quadrados concordam, mas o ajuste linear é mais preciso porque usa todos os pontos de dados de forma ponderada.

Passo 8

(g) Valor de P_{\max} por teoria e comparação
Teoricamente, o máximo de P_u ocorre em R=r:
P_{\max} = \frac{\varepsilon^2}{4r} = \frac{(1{,}63)^2}{4\times120} \approx 0{,}0055\;\mathrm{W}.
Do gráfico P_u vs.\ R obtém-se valor próximo de 5{,}5,mW, em boa concordância. A dependência de P_u com R segue a forma quadrática esperada, confirmando indiretamente a lei de Ohm e a fórmula de potência.

Resposta

(h) Rendimento
Definimos rendimento \eta = P_u/P_t. Como
P_t = \varepsilon I,\quad P_u=U\,I,
temos
\eta = \frac{U}{\varepsilon} = 1 - \frac{r\,I}{\varepsilon}.
O rendimento não é constante pois depende de I (ou de R), e nunca atinge 100\% (caindo para zero em curto-circuito e para zero também em circuito aberto), sendo máximo quando R=r, mas sempre <100\%.

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