De um determinado instrumento de medição fazem parte três componentes eletrónicas cujas probabilidades de não estarem avariadas são respetivamente iguais a 0.7 , 0.8 e 0.9 . Se nenhuma das componentes estiver avariada, o sistema funciona sempre; se uma das componentes estiver avariada, a probabilidade do sistema funcionar é 0.75 ; se duas componentes estiverem avariadas, a respetiva probabilidade é 0.5 ; no caso de todas as componentes estarem avariadas, o sistema não funciona. Admita que as componentes funcionam independentemente umas das outras.
Determine a probabilidade do sistema funcionar.

Passo 1

Então, o enunciado pede pra gente achar a probabilidade do sistema funcionar sabendo que ele tem três componentes que podem estar avariadas ou não.
Conteúdo: probabilidade (independência, eventos compostos e Teorema da Probabilidade Total).
O que vamos precisar:
  • As probabilidades de cada componente funcionar ou falhar.
  • Calcular, pra cada “k” componentes avariadas (k=0,1,2,3), a probabilidade desse cenário.
  • Usar o Teorema da Probabilidade Total: somar, para cada k, P(cenário k) · P(sistema funciona|k).

Passo 2

Primeiro, vamos definir:
p1=0.7,;p2=0.8,;p3=0.9 são as chances de cada uma não estar avariada.
Então as chances de falha são
q1=1-p1=0.3, q2=0.2, q3=0.1
Como são independentes, para cada k vamos multiplicar as probabilidades.
  • k=0 falhas (todas OK): P0 = p1,p2,p3 = 0.7cdot0.8cdot0.9 = 0.504
    - k=1 falha (exatamente uma):
    P1 = q1,p2,p3 + p1,q2,p3 + p1,p2,q3 = 0.216 + 0.126 + 0.056 = 0.398
  • k=2 falhas: P2 = q1,q2,p3 + q1,p2,q3 + p1,q2,q3 = 0.054 + 0.024 + 0.014 = 0.092
    - k=3 falhas (todas avariadas):
    P3 = q1,q2,q3 = 0.3cdot0.2cdot0.1 = 0.006

Passo 3

Agora entra o Teorema da Probabilidade Total:
P(sistema funciona) = sumk=0^3 Pk ;times; P(sist funcionamid k)
Pelo enunciado:
- Se k=0, P(funciona|0)=1.
- Se k=1, P(funciona|1)=0.75.
- Se k=2, P(funciona|2)=0.5.
- Se k=3, P(funciona|3)=0.

Passo 4

Substituindo tudo na fórmula:
P = 0.504cdot1 ;+; 0.398cdot0.75 ;+; 0.092cdot0.5 ;+; 0.006cdot0 = 0.504 + 0.2985 + 0.046 + 0 = 0.8485

Resposta

A probabilidade do sistema funcionar é 0.8485 (ou cerca de 84,85%).

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