De um determinado instrumento de medição fazem parte três componentes eletrónicas cujas probabilidades de não estarem avariadas são respetivamente iguais a 0.7 , 0.8 e 0.9 . Se nenhuma das componentes estiver avariada, o sistema funciona sempre; se uma das componentes estiver avariada, a probabilidade do sistema funcionar é 0.75 ; se duas componentes estiverem avariadas, a respetiva probabilidade é 0.5 ; no caso de todas as componentes estarem avariadas, o sistema não funciona. Admita que as componentes funcionam independentemente umas das outras.
Determine a probabilidade do sistema funcionar.
Determine a probabilidade do sistema funcionar.
Passo 1
Então, o enunciado pede pra gente achar a probabilidade do sistema funcionar sabendo que ele tem três componentes que podem estar avariadas ou não.
Conteúdo: probabilidade (independência, eventos compostos e Teorema da Probabilidade Total).
O que vamos precisar:
Conteúdo: probabilidade (independência, eventos compostos e Teorema da Probabilidade Total).
O que vamos precisar:
- As probabilidades de cada componente funcionar ou falhar.
- Calcular, pra cada “k” componentes avariadas (k=0,1,2,3), a probabilidade desse cenário.
- Usar o Teorema da Probabilidade Total: somar, para cada k, P(cenário k) · P(sistema funciona|k).
Passo 2
Primeiro, vamos definir:
são as chances de cada uma não estar avariada.
Então as chances de falha são
Então as chances de falha são
Como são independentes, para cada k vamos multiplicar as probabilidades.
- k=0 falhas (todas OK):
- k=1 falha (exatamente uma):
- k=2 falhas:
- k=3 falhas (todas avariadas):
Passo 3
Agora entra o Teorema da Probabilidade Total:
Pelo enunciado:
- Se k=0,
- Se k=1,
- Se k=2,
- Se k=3,
Passo 4
Substituindo tudo na fórmula:
Resposta
A probabilidade do sistema funcionar é
(ou cerca de
).