De um determinado instrumento de medição fazem parte três componentes eletrónicas cujas probabilidades de não estarem avariadas são respetivamente iguais a 0.7 , 0.8 e 0.9 . Se nenhuma das componentes estiver avariada, o sistema funciona sempre; se uma das componentes estiver avariada, a probabilidade do sistema funcionar é 0.75 ; se duas componentes estiverem avariadas, a respetiva probabilidade é 0.5 ; no caso de todas as componentes estarem avariadas, o sistema não funciona. Admita que as componentes funcionam independentemente umas das outras.
Sabendo que o sistema não está a fucionar, determine a probabilidade de existir uma componente avariada no sistema.
Sabendo que o sistema não está a fucionar, determine a probabilidade de existir uma componente avariada no sistema.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos três componentes independentes, com probabilidades de não estarem avariadas:
onde
= “componente
está boa”. Logo
é “componente
avariada”, com
Se
= número de componentes avariadas, então:
–
–
–
–
–
–
–
–
O que precisamos usar:
- Independência para achar
. - Lei da probabilidade total para achar
. - Teorema de Bayes para achar
.
Passo 2
Vamos achar a distribuição de
, o número de componentes avariadas. Como são independentes:
Para
só uma falha (três jeitos):
Para
(duas falhas):
E para
(todas falhas):
Passo 3
Agora a probabilidade do sistema falhar (não funcionar) vem da lei da probabilidade total:
Mas
, então
Passo 4
Finalmente, aplicamos o Teorema de Bayes para achar
Resposta
A probabilidade de existir exatamente uma componente avariada, dado que o sistema não está a funcionar, é aproximadamente
.