De um determinado instrumento de medição fazem parte três componentes eletrónicas cujas probabilidades de não estarem avariadas são respetivamente iguais a 0.7 , 0.8 e 0.9 . Se nenhuma das componentes estiver avariada, o sistema funciona sempre; se uma das componentes estiver avariada, a probabilidade do sistema funcionar é 0.75 ; se duas componentes estiverem avariadas, a respetiva probabilidade é 0.5 ; no caso de todas as componentes estarem avariadas, o sistema não funciona. Admita que as componentes funcionam independentemente umas das outras.
Sabendo que o sistema não está a fucionar, determine a probabilidade de existir uma componente avariada no sistema.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos três componentes independentes, com probabilidades de não estarem avariadas:
P(A1)=0.7, P(A2)=0.8, P(A3)=0.9,
onde P(F1)=0.3,;P(F2)=0.2,;P(F3)=0.1 = “componente está boa”. Logo é “componente avariada”, com
Se = número de componentes avariadas, então:



O que precisamos usar:
  1. Independência para achar .
  2. Lei da probabilidade total para achar .
  3. Teorema de Bayes para achar .

Passo 2

Vamos achar a distribuição de P(X=0)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.7cdot0.8cdot0.9=0.504, o número de componentes avariadas. Como são independentes:
P(X=1)&=P(F1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(F2)P(A3)+P(A1)P(A2)P(F3) &=0.3cdot0.8cdot0.9+0.7cdot0.2cdot0.9+0.7cdot0.8cdot0.1 &=0.216+0.126+0.056=0.398
Para P(X=2)&=P(F1)P(F2)P(A3)+P(F1)P(A2)P(F3)+P(A1)P(F2)P(F3) &=0.3cdot0.2cdot0.9+0.3cdot0.1cdot0.8+0.7cdot0.2cdot0.1 &=0.054+0.024+0.014=0.092 só uma falha (três jeitos):
P(X=3)=0.3cdot0.2cdot0.1=0.006
Para (duas falhas):
E para (todas falhas):

Passo 3

Agora a probabilidade do sistema falhar (não funcionar) vem da lei da probabilidade total:
P(falha) =sumk=0^3 P(X=k),P(falhamid X=k)
Mas P(falha) &=P(X=0)cdot0 + P(X=1)cdot(1-0.75) +P(X=2)cdot(1-0.5)+P(X=3)cdot1 &=0.504cdot0 + 0.398cdot0.25 + 0.092cdot0.5 + 0.006cdot1 &=0 +0.0995+0.046+0.006=0.1515 , então

Passo 4

Finalmente, aplicamos o Teorema de Bayes para achar
P(X=1mid falha) =P(X=1),P(falhamid X=1)P(falha) =0.398cdot0.250.1515 approx0.6564

Resposta

A probabilidade de existir exatamente uma componente avariada, dado que o sistema não está a funcionar, é aproximadamente .

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