Em nossas discussões até este ponto do curso temos sempre considerado um gás livre da ação de forças externas. Contudo, os gases com os quais lidamos em nosso quotidiano não satisfazem essa condição, pois estão submetidos ao campo gravitacional terrestre. Nessas condições, o gás em equilíbrio não fica uniformemente distribuído no recipiente, pois sua concentração no fundo é maior do que no topo. De fato, é possível mostrar que a densidade de um gás de massa molar M submetido a uma aceleração gravitacional \mathrm{g}=9.81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} varia com a altura h pela fórmula
\rho=\rho_{0} \exp \left(-\frac{M g h}{R T}\right),
onde \mathrm{R}=8.314 \mathrm{~J} / \mathrm{mol}. K é a constante dos gases e \rho_{0} é a densidade no fundo do recipiente, i.e. em \mathrm{h}=0. Calcule a altura em que a densidade de um gás de massa molar 10,1 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} a uma temperatura 28^{\circ} \mathrm{C} terá diminuído de 2 \% relativamente à densidade no fundo do recipiente.
◯ a. 510,5 \mathrm{~m}
◯ b. 2349,5 \mathrm{~m}
◯ C. 47,5 \mathrm{~m}
◯ d. 4,7 \mathrm{~cm}
◯ e. 51,1 \mathrm{~cm}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Fórmula dada (peguei-a do enunciado):
\rho=\rho_{0}\exp\!\left(-\frac{M g h}{R T}\right).
  • O enunciado pede a altura h em que a densidade terá diminuído 2\% relativamente à densidade no fundo. Isso significa:
\frac{\rho}{\rho_{0}}=0,98.
  • Constantes e dados fornecidos:
    • massa molar M=10{,}1\\ \mathrm{g/mol} (vou converter depois),
    • temperatura 28^\circ\mathrm{C},
    • aceleração gravitacional g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} (dado),
    • constante dos gases R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • Objetivo final: encontrar h (em metros) e escolher a alternativa correta.

Passo 2

Isolar h na fórmula usando o fato de que \rho/\rho_{0}=0,98.
Começo escrevendo a relação:
0,98=\exp\!\left(-\frac{M g h}{R T}\right).
Agora aplico logaritmo natural aos dois lados (lembrando que \ln(e^x)=x):
\ln(0,98)=-\frac{M g h}{R T}.
Isolando h:
h=-\frac{R T}{M g}\,\ln(0,98).
Isso é tudo em termos algébricos — agora vou converter unidades e calcular numericamente.

Passo 3

Conversões e valores numéricos a usar (explico por que):
  • Temperatura: converter de Celsius para Kelvin porque R usa Kelvin:
T=28^\circ\mathrm{C}=28+273=301\\ \mathrm{K}.
  • Massa molar: converter de gramas por mol para quilogramas por mol, pois R em J usa kg nas unidades:
M=10{,}1\\ \mathrm{g/mol}=0{,}0101\\ \mathrm{kg/mol}.
Agora temos:
R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},\quad T=301\\ \mathrm{K},\quad M=0{,}0101\\ \mathrm{kg/mol},\quad g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 4

Calcular \ln(0,98). Para pequenos decréscimos, é útil usar a expansão \ln(1-x)=-x-\tfrac{x^2}{2}-\tfrac{x^3}{3}-\dots. Aqui x=0,02, então:
\ln(0,98)=\ln(1-0,02)\approx -0,02-\frac{(0,02)^2}{2}-\frac{(0,02)^3}{3}\approx -0,02-0,0002-0,0000027\approx -0,0202027.
Portanto:
-\ln(0,98)\approx 0,0202027.

Passo 5

Calcular as quantidades intermediárias e finalmente h.
Primeiro R T:
R T = 8{,}314\cdot301 = 2502{,}514\\ \mathrm{J/mol}.
Depois M g:
M g = 0{,}0101\cdot9{,}81 = 0{,}099081\\ \mathrm{(kg\cdot m)/(mol\cdot s^2)}.
Agora a razão:
\frac{R T}{M g}=\frac{2502{,}514}{0{,}099081}\approx 25\,257{,}3\quad(\text{unidade: m}).
(esse valor tem dimensão de comprimento — as unidades cuidam-se corretamente.)
Finalmente:
h=\frac{R T}{M g}\cdot\bigl(-\ln(0,98)\bigr)\approx 25\,257{,}3\times 0,0202027\approx 510{,}5\\ \mathrm{m}.
Arredondei para uma casa decimal porque as opções dadas também têm uma casa decimal.

Passo 6

Interpretação final: a altura em que a densidade diminui 2\% é aproximadamente 510{,}5\\ \mathrm{m}. Isso corresponde à alternativa (a).

Resposta

a. 510{,}5\\ \mathrm{m}

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