Um determinado organismo cresce a uma taxa proporcional ao seu tamanho. Se o organismo pesa 50 g inicialmente e 80 g após 3 dias, encontre sua massa após 5 dias.

Passo 1

O enunciado diz que a massa M(t) do organismo cresce de forma proporcional ao seu tamanho, ou seja, obedece à equação diferencial de crescimento exponencial
dMdt = k,M,
onde k é a constante de crescimento. Sabemos que M(0)=50 g e M(3)=80 g, e queremos M(5).

Passo 2

Resolvendo a equação diferencial
dMdt = k,M
pela separação de variáveis ou reconhecendo o modelo exponencial, obtemos a solução geral
M(t) = M(0),e^k t

Passo 3

Para encontrar k, usamos o dado M(3)=80 g:
80 = 50,e^kcdot3 Longrightarrow e^3k = 8050 = 1,6 Longrightarrow k = 13ln(1,6)

Passo 4

Agora calculamos a massa em t=5 dias:
M(5) = 50,e^kcdot5 = 50,e^5l(tfrac13ln(1,6)r) = 50,(e^ln(1,6))^5/3 = 50,(1,6)^5/3

Resposta

A massa após 5 dias é
M(5) = 50,(1,6)^5/3approx 110 g

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