Esboce as funções abaixo e encontre sua transformada de Laplace:
f(t)=l0, 0 <= t<pi t-pi, pi <= t<2 pi 0, t >= 2 pi

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(t)= 0, &0<= t<pi, t-pi, &pi<= t<2pi, 0, &t>=2pi,
e pede para esboçar o gráfico e encontrar a transformada de Laplace F(s)= Lf(t)(s). Vamos usar a definição de Laplace e integração por partes.

Passo 2

O esboço de f(t) é:
– Para 0<= t<pi, f(t)=0.
– Em pi<= t<2pi, f(t)=t-pi, uma reta que começa em (pi,0) e cresce até (2pi,pi).
– Para t>=2pi, f(t)=0 de novo.

Passo 3

É conveniente usar a função escalonada de Heaviside:
f(t)=(t-pi)l[u(t-pi)-u(t-2pi)r]
Pela definição de Laplace,
F(s)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt =integralpi^2pi(t-pi)e^-st,dt

Passo 4

Faço a mudança de variável u=t-pi, então t=u+pi e quando t=pi tem u=0, quando t=2pi tem u=pi. Logo
F(s) =integral0^piu,e^-s(u+pi),du =e^-spiintegral0^piu,e^-su,du

Passo 5

Calculo a integral I=integral0^piu,e^-su,du por partes, com v=u, dw=e^-sudu:
I =l[-use^-sur]0^pi +integral0^pi1se^-su,du =-pise^-spi +1sl[-1se^-sur]0^pi
Isso dá
I =-pise^-spi -1s^2e^-spi +1s^2 =1s^2l[1-e^-spi(1+spi)r]

Passo 6

Substituindo em F(s)=e^-spi,I obtemos
F(s) =e^-spis^2l[1-e^-spi(1+spi)r] =e^-spi-e^-2spi(1+spi)s^2

Resposta

boxedF(s)=e^-spis^2l[1-e^-spi(1+spi)r] =e^-spi-e^-2spi(1+spi)s^2

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