Determine se cada uma das proposições abaixo é verdadeira:
\varnothing \subset\{0\}

Passo 1

Enunciado: verificar se a proposição \varnothing \subset \{0\} é verdadeira.
Informações dadas: o conjunto à esquerda é o conjunto vazio \varnothing (não tem elementos) e o conjunto à direita é \{0\} (contém exatamente o elemento 0).
Pergunta: a afirmação “ \varnothing é subconjunto de \{0\}” é verdadeira ou falsa?

Passo 2

Definição precisa de subconjunto: diremos que um conjunto A é subconjunto de B, escrito A \subset B, quando vale a condição
\forall x,\; (x\in A)\Rightarrow(x\in B).
Explicação dessa fórmula: isto significa “para todo elemento x, se x pertence a A, então x também pertence a B”. A seta \Rightarrow é a implicação lógica: a afirmação inteira só é falsa quando a hipótese x\in A é verdadeira e a conclusão x\in B é falsa.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso caso: para A=\varnothing e B=\{0\} a condição fica
\forall x,\; (x\in\varnothing)\Rightarrow(x\in\{0\}).
Mas a condição x\in\varnothing é sempre falsa, porque não existe nenhum x que pertença ao conjunto vazio.

Passo 4

Noções de “verdade vacuamente”: uma implicação “se P então Q” é verdadeira sempre que P é falsa, independentemente de Q. Aqui P é “ x\in\varnothing”, que é sempre falsa. Portanto, para cada x a implicação (x\in\varnothing)\Rightarrow(x\in\{0\}) é verdadeira. Logo, a afirmação universal sobre todos os x também é verdadeira. Intuitivamente: não há elementos em \varnothing que possam violar a condição de estar em \{0\}.

Passo 5

Prova curta e direta (modo “provar por implicação”): suponha, para fins de verificação, que exista um x tal que x\in\varnothing. Mas isso é impossível, pois \varnothing não tem elementos. Da impossibilidade segue que qualquer afirmação do tipo “se x\in\varnothing então …” é verdadeira. Portanto a condição da definição de subconjunto é satisfeita, e \varnothing\subset\{0\}.

Passo 6

Observações úteis para a prova: esse argumento vale para qualquer conjunto B — temos sempre \varnothing\subset B. Além disso, se a notação \subset no enunciado for usada no sentido de “subconjunto (possivelmente próprio)”, então \varnothing\subset\{0\} é verdadeira; se for usada no sentido de “subconjunto próprio” (às vezes denotado por \subsetneq), também é verdadeira porque \varnothing\neq\{0\}. Um exemplo concreto parecido para fixar a ideia: a afirmação “todos os unicórnios na sala estão usando chapéu” é verdadeira vacuamente se não há unicórnios na sala.

Passo 7

Resumo amigável: não se assuste com o “vácuo” do conjunto vazio — essa ausência de elementos é justamente o que torna a relação de subconjunto verdadeira em todos os casos. Continue firme, isso é um conceito que gera confusão no começo, mas você já entendeu a ideia essencial.

Resposta

Verdadeira.

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