Determine se cada uma das proposições abaixo é verdadeira:
Passo 1
Enunciado: verificar se a proposição
é verdadeira.
Informações dadas: o conjunto à esquerda é o conjunto vazio (não tem elementos) e o conjunto à direita é
(contém exatamente o elemento
).
Pergunta: a afirmação “ é subconjunto de
” é verdadeira ou falsa?
Informações dadas: o conjunto à esquerda é o conjunto vazio
Pergunta: a afirmação “
Passo 2
Definição precisa de subconjunto: diremos que um conjunto
é subconjunto de
, escrito
, quando vale a condição
Explicação dessa fórmula: isto significa “para todo elemento
, se
pertence a
, então
também pertence a
”. A seta
é a implicação lógica: a afirmação inteira só é falsa quando a hipótese
é verdadeira e a conclusão
é falsa.
Passo 3
Aplicando a definição ao nosso caso: para
e
a condição fica
Mas a condição
é sempre falsa, porque não existe nenhum
que pertença ao conjunto vazio.
Passo 4
Noções de “verdade vacuamente”: uma implicação “se P então Q” é verdadeira sempre que P é falsa, independentemente de Q. Aqui P é “
”, que é sempre falsa. Portanto, para cada
a implicação
é verdadeira. Logo, a afirmação universal sobre todos os
também é verdadeira. Intuitivamente: não há elementos em
que possam violar a condição de estar em
.
Passo 5
Prova curta e direta (modo “provar por implicação”): suponha, para fins de verificação, que exista um
tal que
. Mas isso é impossível, pois
não tem elementos. Da impossibilidade segue que qualquer afirmação do tipo “se
então …” é verdadeira. Portanto a condição da definição de subconjunto é satisfeita, e
.
Passo 6
Observações úteis para a prova: esse argumento vale para qualquer conjunto
— temos sempre
. Além disso, se a notação
no enunciado for usada no sentido de “subconjunto (possivelmente próprio)”, então
é verdadeira; se for usada no sentido de “subconjunto próprio” (às vezes denotado por
), também é verdadeira porque
. Um exemplo concreto parecido para fixar a ideia: a afirmação “todos os unicórnios na sala estão usando chapéu” é verdadeira vacuamente se não há unicórnios na sala.
Passo 7
Resumo amigável: não se assuste com o “vácuo” do conjunto vazio — essa ausência de elementos é justamente o que torna a relação de subconjunto verdadeira em todos os casos. Continue firme, isso é um conceito que gera confusão no começo, mas você já entendeu a ideia essencial.
Resposta
Verdadeira.