Em um reator pressurizado (PWR) existe uma especificação de projeto que recomenda que a temperatura média do fluido de saída do gerador de vapor não ultrapasse
sob condições normais de operação. Um engenheiro nuclear suspeita que, devido a um ajuste recente no sistema de recirculação, a temperatura média real esteja acima desse valor. Foram coletadas 12 medições independentes da temperatura de saída
durante testes operacionais consecutivos:
Medição
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Temperatura
320.5
321.2
319.8
322.0
323.1
318.9
321.5
320.7
322.4
319.6
321.0
322.8
Assuma que as medições seguem uma distribuição aproximadamente normal.
(a) Formule as hipóteses nula e alternativa apropriadas para testar a suspeita do engenheiro. Indique se o teste é unilateral ou bilateral e justifique.
(b) Usando nível de significância
, conduza o teste de hipótese para verificar se a temperatur média é maior que
.
(c) Construa o intervalo de confiança de
para a média e interprete-o no contexto do problema.
| Medição | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Temperatura
|
320.5 | 321.2 | 319.8 | 322.0 | 323.1 | 318.9 | 321.5 | 320.7 | 322.4 | 319.6 | 321.0 | 322.8 |
(a) Formule as hipóteses nula e alternativa apropriadas para testar a suspeita do engenheiro. Indique se o teste é unilateral ou bilateral e justifique.
(b) Usando nível de significância
(c) Construa o intervalo de confiança de
Passo 1
O enunciado pede três coisas claramente separadas:
- (a) Formular as hipóteses nula e alternativa para testar se a temperatura média do fluido de saída excede
. Dizer se o teste é unilateral ou bilateral e justificar. - (b) Usar
e conduzir o teste de hipótese com as 12 medições dadas. - (c) Construir o intervalo de confiança de
para a média e interpretar no contexto.
Informações relevantes dadas (retirei diretamente da tabela do enunciado):
e as medições (em
) são
Assume-se que as medições são aproximadamente normais e independentes.
Passo 2
Vamos calcular a média amostral passo a passo e entender o porquê.
Fórmula da média amostral:
onde
são as observações e
é o número de observações.
Somando as 12 medições (peguei os valores da tabela),
Então a média amostral é
Interpretação simples: o valor médio observado nas 12 medições é
.
Passo 3
Agora precisamos da variabilidade da amostra (desvio padrão amostral), porque não conhecemos a variância verdadeira do processo. Vou mostrar a fórmula e calcular passo a passo.
Fórmula da variância amostral:
e o desvio padrão amostral é
.
Calculei as diferenças
e seus quadrados (usei os valores da tabela e
). A soma dos quadrados das diferenças deu
Logo
e
Explicação didática curta: usamos
(graus de liberdade) porque estamos estimando a média pela própria amostra — isso corrige o viés da estimativa da variância.
Passo 4
Formular as hipóteses e justificar o tipo de teste.
O engenheiro suspeita que a média real é maior que
. Portanto as hipóteses são
Este é um teste unilateral à direita (one-sided, right-tailed), porque a suspeita é que a média seja maior que o valor especificado; logo só nos interessa desvios positivos da média em relação a
.
Passo 5
Escolher a estatística de teste apropriada e calcular.
Como a amostra é pequena (
), os dados são aproximadamente normais e a variância populacional é desconhecida, usamos a estatística
:
onde
,
,
e
.
Calculemos o erro padrão:
Agora a estatística:
Os graus de liberdade são
.
Passo 6
Regra de decisão e p-valor.
Para
e um teste unilateral à direita com
, o valor crítico é
Regra: rejeitar
se
.
Comparando:
. Portanto rejeitamos
ao nível
.
Cálculo aproximado do p-valor (unilateral): usando a distribuição
com 11 graus de liberdade, para
o p-valor unilateral é aproximadamente
Interpretação: há evidência estatística forte (p bem menor que
) de que a média seja maior que
.
Passo 7
Construção do intervalo de confiança de
para
e interpretação.
Fórmula do intervalo de confiança (IC) com
:
Aqui
(valor crítico para intervalo de
com
).
Já temos
e
. Então a margem de erro é
Portanto o IC de
é
ou seja
(arredondando,
).
Interpretação no contexto: com
de confiança, a verdadeira temperatura média de saída está entre aproximadamente
e
. Observe que todo o intervalo está acima de
, o que é consistente com a conclusão do teste: os dados sugerem que a média excede a especificação de projeto.
Resposta
(a)
. Teste unilateral à direita (porque a suspeita é de aumento da média).
(b) ,
; valor crítico
. Rejeita-se
ao nível
. p-valor unilateral
.
(c) Intervalo de confiança :
. Interpretação: com
de confiança a média está acima de
.
(b)
(c) Intervalo de confiança