Em um reator pressurizado (PWR) existe uma especificação de projeto que recomenda que a temperatura média do fluido de saída do gerador de vapor não ultrapasse 320,0^{\circ} \mathrm{C} sob condições normais de operação. Um engenheiro nuclear suspeita que, devido a um ajuste recente no sistema de recirculação, a temperatura média real esteja acima desse valor. Foram coletadas 12 medições independentes da temperatura de saída \left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) durante testes operacionais consecutivos:
Medição 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Temperatura \left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right) 320.5 321.2 319.8 322.0 323.1 318.9 321.5 320.7 322.4 319.6 321.0 322.8
Assuma que as medições seguem uma distribuição aproximadamente normal.
(a) Formule as hipóteses nula e alternativa apropriadas para testar a suspeita do engenheiro. Indique se o teste é unilateral ou bilateral e justifique.
(b) Usando nível de significância \alpha=0,05, conduza o teste de hipótese para verificar se a temperatur média é maior que 320,0^{\circ} \mathrm{C}.
(c) Construa o intervalo de confiança de 95 \% para a média e interprete-o no contexto do problema.

Passo 1

O enunciado pede três coisas claramente separadas:
  1. (a) Formular as hipóteses nula e alternativa para testar se a temperatura média do fluido de saída excede 320,0^{\circ}\mathrm{C}. Dizer se o teste é unilateral ou bilateral e justificar.
  2. (b) Usar \alpha=0,05 e conduzir o teste de hipótese com as 12 medições dadas.
  3. (c) Construir o intervalo de confiança de 95\% para a média e interpretar no contexto.
Informações relevantes dadas (retirei diretamente da tabela do enunciado):
\;n=12 e as medições (em {}^{\circ}\mathrm{C}) são
320,5,\;321,2,\;319,8,\;322,0,\;323,1,\;318,9,\;321,5,\;320,7,\;322,4,\;319,6,\;321,0,\;322,8.
Assume-se que as medições são aproximadamente normais e independentes.

Passo 2

Vamos calcular a média amostral passo a passo e entender o porquê.
Fórmula da média amostral:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde x_i são as observações e n é o número de observações.
Somando as 12 medições (peguei os valores da tabela),
\sum_{i=1}^{12} x_i = 3853,5.
Então a média amostral é
\bar{x}=\frac{3853,5}{12}=321,125.
Interpretação simples: o valor médio observado nas 12 medições é \bar{x}=321,125^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 3

Agora precisamos da variabilidade da amostra (desvio padrão amostral), porque não conhecemos a variância verdadeira do processo. Vou mostrar a fórmula e calcular passo a passo.
Fórmula da variância amostral:
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2,
e o desvio padrão amostral é s=\sqrt{s^2}.
Calculei as diferenças x_i-\bar{x} e seus quadrados (usei os valores da tabela e \bar{x}=321,125). A soma dos quadrados das diferenças deu
\sum_{i=1}^{12} (x_i-\bar{x})^2 = 18,8625.
Logo
s^2=\frac{18,8625}{12-1}=\frac{18,8625}{11}=1,7147727\ldots
e
s=\sqrt{1,7147727\ldots}=1,3095\\ (\text{aprox.}).
Explicação didática curta: usamos n-1 (graus de liberdade) porque estamos estimando a média pela própria amostra — isso corrige o viés da estimativa da variância.

Passo 4

Formular as hipóteses e justificar o tipo de teste.
O engenheiro suspeita que a média real é maior que 320,0^{\circ}\mathrm{C}. Portanto as hipóteses são
H_0:\mu=320,0
H_a:\mu>320,0.
Este é um teste unilateral à direita (one-sided, right-tailed), porque a suspeita é que a média seja maior que o valor especificado; logo só nos interessa desvios positivos da média em relação a 320,0^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 5

Escolher a estatística de teste apropriada e calcular.
Como a amostra é pequena ( n=12), os dados são aproximadamente normais e a variância populacional é desconhecida, usamos a estatística t:
t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}},
onde \mu_0=320,0, \bar{x}=321,125, s=1,3095 e n=12.
Calculemos o erro padrão:
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{1,3095}{\sqrt{12}}=\frac{1,3095}{3,4641}=0,3781\\ (\text{aprox.}).
Agora a estatística:
t=\frac{321,125-320,0}{0,3781}=\frac{1,125}{0,3781}=2,975\\ (\text{aprox.}).
Os graus de liberdade são df=n-1=11.

Passo 6

Regra de decisão e p-valor.
Para \alpha=0,05 e um teste unilateral à direita com df=11, o valor crítico é
t_{\text{crítico}}=t_{0,95;11}\approx 1,7959.í
Regra: rejeitar H_0 se t>t_{\text{crítico}}í.
Comparando: t\approx 2,975 > 1,7959. Portanto rejeitamos H_0 ao nível \alpha=0,05.
Cálculo aproximado do p-valor (unilateral): usando a distribuição t com 11 graus de liberdade, para t=2,975 o p-valor unilateral é aproximadamente
\text{p-valor}\approx 0,0065\\ (\text{aprox.}).
Interpretação: há evidência estatística forte (p bem menor que 0,05) de que a média seja maior que 320,0^{\circ}\mathrm{C}.

Passo 7

Construção do intervalo de confiança de 95\% para \mu e interpretação.
Fórmula do intervalo de confiança (IC) com t:
\bar{x}\pm t_{0,975;df}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}.
Aqui t_{0,975;11}\approx 2,2009 (valor crítico para intervalo de 95\% com df=11).
Já temos \bar{x}=321,125 e \dfrac{s}{\sqrt{n}}=0,3781. Então a margem de erro é
\text{margem}=2,2009\times 0,3781=0,8324\\ (\text{aprox.}).
Portanto o IC de 95\% é
321,125\pm 0,8324,
ou seja
\text{IC}_{95\%}=(320,2926;\;321,9574)
(arredondando, (320,293^{\circ}\mathrm{C};\;321,957^{\circ}\mathrm{C})).
Interpretação no contexto: com 95\% de confiança, a verdadeira temperatura média de saída está entre aproximadamente 320,29^{\circ}\mathrm{C} e 321,96^{\circ}\mathrm{C}. Observe que todo o intervalo está acima de 320,0^{\circ}\mathrm{C}, o que é consistente com a conclusão do teste: os dados sugerem que a média excede a especificação de projeto.

Resposta

(a) H_0:\mu=320,0 \;,\; H_a:\mu>320,0. Teste unilateral à direita (porque a suspeita é de aumento da média).
(b) t\approx 2,975, df=11; valor crítico t_{0,95;11}\approx 1,7959. Rejeita-se H_0 ao nível \alpha=0,05. p-valor unilateral \approx 0,0065.
(c) Intervalo de confiança 95\%: (320,293^{\circ}\mathrm{C};\;321,957^{\circ}\mathrm{C}). Interpretação: com 95\% de confiança a média está acima de 320,0^{\circ}\mathrm{C}.

Exercícios relacionados