Um determinado princípio ativo se degrada em solução obedecendo uma cinética de ordem zero. Sabendo-se que o tempo de meia-vida é de 8 h , quando a concentração inicial for de 0,5 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} :
a) Obtenha a constante de velocidade da reação. R: 0,03125 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} . \mathrm{h}
b) Calcule o tempo que levaria uma concentração inicial de 0,1 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} para se reduzir em 10 \%. R: 19,2 \mathrm{~min}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Informações dadas:
  • A cinética é de ordem zero (degradação com taxa constante).
  • Tempo de meia-vida: \,t_{1/2}=8\\ \mathrm{h} quando a concentração inicial é \,C_0=0{,}5\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}.
Perguntas:
a) Obter a constante de velocidade k da reação (unidades de concentração/tempo).
b) Calcular o tempo que levaria uma concentração inicial de \,C_0'=0{,}1\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L} para se reduzir em 10\% (ou seja, até 90\% do valor inicial).

Passo 2

Entendendo a cinética de ordem zero (aulas rápidas e diretas).
  • A lei de velocidade para reação de ordem zero é: a taxa de queda da concentração é constante e igual a k. Em linguagem matemática:
-\frac{dC}{dt}=k.
Aqui:
  • C(t) é a concentração no tempo t.
  • k é a constante de velocidade, com unidades de concentração por tempo (por exemplo, \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}\mathrm{h}^{-1}).
  • Integramos essa equação diferencial para obter a forma integrada (essa é a fórmula que você vai usar na prova sem complicação):
C(t)=C_0 - k\,t.
Explicação: a derivada \frac{dC}{dt} é constante negativa -k, integrar dá uma reta decrescente com intercepto C_0 e inclinação -k.

Passo 3

Derivando a expressão do tempo de meia-vida para ordem zero (para usar no item a).
  • Definição: tempo de meia-vida \,t_{1/2} é o tempo necessário para C cair para metade do valor inicial, isto é C(t_{1/2})=C_0/2.
  • Usando a expressão integrada:
\frac{C_0}{2}=C_0 - k\,t_{1/2}.
  • Isolando t_{1/2}:
k\,t_{1/2}=C_0 - \frac{C_0}{2}=\frac{C_0}{2}
\Rightarrow t_{1/2}=\frac{C_0}{2k}.
  • Dessa relação segue que:
k=\frac{C_0}{2\,t_{1/2}}.
Essa fórmula é muito prática: para ordem zero, a meia-vida depende da concentração inicial.

Passo 4

Calculando k (item a) com os dados fornecidos.
  • Substituindo C_0=0{,}5\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L} e t_{1/2}=8\\ \mathrm{h} na fórmula k=\dfrac{C_0}{2t_{1/2}}:
k=\frac{0{,}5}{2\cdot 8}.
  • Calculando o denominador: 2\cdot 8=16.
  • Então
k=\frac{0{,}5}{16}=0{,}03125.
  • Colocando unidades: k=0{,}03125\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}\mathrm{h}^{-1}.
    Comentário amigável: deu exatamente o valor que o enunciado sugeriu, ótimo sinal de que a fórmula foi aplicada corretamente.

Passo 5

Resolvendo o item b — tempo para reduzir 10\% a partir de C_0'=0{,}1\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}.
  • Reduzir em 10\% significa chegar a 90\% do valor inicial, então a concentração final desejada é
C_f=0{,}9\,C_0'=0{,}9\times 0{,}1=0{,}09\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}.
  • Use a forma integrada da cinética de ordem zero:
C(t)=C_0' - k\,t.
  • Isolando t:
t=\frac{C_0'-C(t)}{k}=\frac{C_0'-C_f}{k}.
  • O numerador é a queda de concentração: C_0'-C_f=0{,}1-0{,}09=0{,}01\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}.
  • Já sabemos k=0{,}03125\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}\mathrm{h}^{-1}. Então
t=\frac{0{,}01}{0{,}03125}=0{,}32\\ \mathrm{h}.
  • Converter para minutos (multiplica por 60):
t=0{,}32\times 60=19{,}2\\ \mathrm{min}.
Pequeno comentário: faz sentido que seja bem menor que a meia-vida, porque reduzir só 10\% é pouco.

Passo 6

Verificação rápida de consistência (pra te deixar mais confiante):
  • Se em 1 hora a concentração cairia \,k=0{,}03125\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}, então em 0{,}32 h cairá 0{,}32\times 0{,}03125=0{,}01\\ \mathrm{mol}/\mathrm{L}, que é exatamente a queda necessária de 0{,}1 para 0{,}09. Tudo bate certinho.

Resposta

a) k=0{,}03125\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}\mathrm{h}^{-1}
b) t=19{,}2\\ \mathrm{min}

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