Num determinado processo de fabricação 10% das peças são consideradas defeituosas. Coleta-se uma amostra de 10 peças a cada 30 minutos e o sistema de produção para (interrompe) havendo mais de 20% de peças defeituosas. Determine as probabilidades a seguir:
a) Probabilidade de uma parada desnecessária do processo?;
b) Probabilidade de um período de 4 horas não parar o processo?.
a) Probabilidade de uma parada desnecessária do processo?;
b) Probabilidade de um período de 4 horas não parar o processo?.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz as seguintes perguntas:
- Taxa verdadeira de peças defeituosas no processo:
. - Tamanho da amostra retirada a cada
minutos: peças. - Regra de parada do sistema: o sistema interrompe se mais de
das peças na amostra forem defeituosas. - Perguntas:
a) Qual é a probabilidade de uma parada desnecessária do processo (ou seja, o processo está emmas a amostra faz o sistema parar)?
b) Qual é a probabilidade de um período dehoras não parar o processo?
Informações relevantes extraídas: amostra de tamanho
, taxa verdadeira
. A condição "mais de
" numa amostra de
peças significa que o número de peças defeituosas na amostra deve ser maior que
(pois
de
é
). Logo a parada ocorre quando o número defeituoso na amostra
satisfaz
.
Passo 2
Modelo probabilístico e por que usá-lo (aula curta e prática):
- Quando numa amostra de tamanho fixo
cada peça tem probabilidade de ser defeituosa, independente das outras, o número de defeituosas segue uma distribuição binomial. - A distribuição binomial é usada quando temos
ensaios independentes, cada um com duas possibilidades (sucesso = defeituosa, falha = não defeituosa) e mesma probabilidade de sucesso. - A fórmula da probabilidade binomial é:
onde:
-
é o número de ensaios (aqui ), -
é o número de sucessos ( ), -
é a probabilidade de sucesso em cada ensaio (aqui ), -
é o número de maneiras de escolher sucessos entre ensaios. - No nosso caso usaremos
.
Passo 3
Cálculo da parte (a): probabilidade de parada desnecessária.
- A parada ocorre quando
. Então a probabilidade de parada (quando o processo realmente tem ) é
- Agora calculamos cada termo usando a fórmula binomial.
Passo 4
Cálculo de
,
e
(mostrando contas para você poder replicar na prova):
-
Numérico:
-
Observação: .
Passo 5
Somando e obtendo a probabilidade de parada desnecessária:
Logo
Interpretação rápida: cerca de
das amostragens causarão uma parada mesmo com a taxa real
.
Passo 6
Cálculo da parte (b): probabilidade de um período de
horas não parar o processo.
- Primeiro, quantas amostras em
horas? Cada amostra a cada minutos -> em minutos cabem amostras; em minutos ( horas) cabem
amostras. Vou chamar o número de amostras por período de
.
- Pressuposto: as amostras são independentes em relação à regra de parada (abordagem padrão nesses problemas). Cada amostra tem a mesma probabilidade
de causar parada, que já determinámos:
- A probabilidade de uma amostra NÃO causar parada é
. - Para que o período de
horas NÃO pare o processo, nenhuma das amostras pode causar parada. Pela independência, a probabilidade procurada é
Passo 7
Cálculo numérico de
com passos (para você poder reproduzir sem calculadora completa, usamos quadraturas sucessivas):
- Definimos
. - Calculamos
(produto direto ou usando log). -
(aprox.). -
(aprox.).
Portanto
Interpretação: cerca de
de chance de passar
horas sem nenhuma parada.