Num determinado processo de fabricação 10% das peças são consideradas defeituosas. Coleta-se uma amostra de 10 peças a cada 30 minutos e o sistema de produção para (interrompe) havendo mais de 20% de peças defeituosas. Determine as probabilidades a seguir:
a) Probabilidade de uma parada desnecessária do processo?;
b) Probabilidade de um período de 4 horas não parar o processo?.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz as seguintes perguntas:
  • Taxa verdadeira de peças defeituosas no processo: \,10\%.
  • Tamanho da amostra retirada a cada 30 minutos: \,10 peças.
  • Regra de parada do sistema: o sistema interrompe se mais de 20\% das peças na amostra forem defeituosas.
  • Perguntas:
    a) Qual é a probabilidade de uma parada desnecessária do processo (ou seja, o processo está em p=10\% mas a amostra faz o sistema parar)?
    b) Qual é a probabilidade de um período de 4 horas não parar o processo?
Informações relevantes extraídas: amostra de tamanho \,n=10, taxa verdadeira \,p=0,10. A condição "mais de 20\%" numa amostra de 10 peças significa que o número de peças defeituosas na amostra deve ser maior que 2 (pois 20\% de 10 é 2). Logo a parada ocorre quando o número defeituoso na amostra X satisfaz X\ge 3.

Passo 2

Modelo probabilístico e por que usá-lo (aula curta e prática):
  • Quando numa amostra de tamanho fixo \,n cada peça tem probabilidade \,p de ser defeituosa, independente das outras, o número de defeituosas X segue uma distribuição binomial.
  • A distribuição binomial é usada quando temos n ensaios independentes, cada um com duas possibilidades (sucesso = defeituosa, falha = não defeituosa) e mesma probabilidade p de sucesso.
  • A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},
onde:
  • \,n é o número de ensaios (aqui \,n=10),
  • \,k é o número de sucessos ( k=0,1,2,\dots),
  • \,p é a probabilidade de sucesso em cada ensaio (aqui \,p=0,10),
  • \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!} é o número de maneiras de escolher k sucessos entre n ensaios.
  • No nosso caso usaremos X\sim\mathrm{Binomial}(n=10,p=0,10).

Passo 3

Cálculo da parte (a): probabilidade de parada desnecessária.
  • A parada ocorre quando X\ge 3. Então a probabilidade de parada (quando o processo realmente tem p=0,10) é
P(\text{parada})=P(X\ge 3)=1-P(X\le 2)=1-\big[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\big].
  • Agora calculamos cada termo usando a fórmula binomial.

Passo 4

Cálculo de P(X=0), P(X=1) e P(X=2) (mostrando contas para você poder replicar na prova):
  • P(X=0)=\binom{10}{0}(0,10)^{0}(0,90)^{10}=(0,90)^{10}. Numérico:
P(X=0)=(0,90)^{10}=0,3486784401.
  • P(X=1)=\binom{10}{1}(0,10)^{1}(0,90)^{9}=10\cdot 0,10\cdot (0,90)^{9}. Observação: (0,90)^{9}=(0,90)^{10}/0,90.
P(X=1)=10\cdot 0,10\cdot (0,90)^{9}=1\cdot 0,387420489=0,387420489.
  • P(X=2)=\binom{10}{2}(0,10)^{2}(0,90)^{8}=45\cdot 0,01\cdot (0,90)^{8}.
P(X=2)=45\cdot 0,01\cdot (0,90)^{8}=0,45\cdot 0,43046721=0,1937102445.

Passo 5

Somando e obtendo a probabilidade de parada desnecessária:
P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0,3486784401+0,387420489+0,1937102445=0,9298091736.
Logo
P(\text{parada desnecessária})=1-0,9298091736=0,0701908264\approx 0,07019.á
Interpretação rápida: cerca de 7{,}02\% das amostragens causarão uma parada mesmo com a taxa real 0{,}10.

Passo 6

Cálculo da parte (b): probabilidade de um período de 4 horas não parar o processo.
  • Primeiro, quantas amostras em 4 horas? Cada amostra a cada 30 minutos -> em 60 minutos cabem 2 amostras; em 240 minutos ( 4 horas) cabem
\frac{240}{30}=8
amostras. Vou chamar o número de amostras por período de m=8.
  • Pressuposto: as amostras são independentes em relação à regra de parada (abordagem padrão nesses problemas). Cada amostra tem a mesma probabilidade q de causar parada, que já determinámos:
q=P(\text{parada numa amostra})=0,0701908264.
  • A probabilidade de uma amostra NÃO causar parada é 1-q=0,9298091736.
  • Para que o período de 4 horas NÃO pare o processo, nenhuma das 8 amostras pode causar parada. Pela independência, a probabilidade procurada é
P(\text{nenhuma parada em 4 h})=(1-q)^{8}.

Passo 7

Cálculo numérico de (1-q)^{8} com passos (para você poder reproduzir sem calculadora completa, usamos quadraturas sucessivas):
  • Definimos a=1-q=0,9298091736.
  • Calculamos a^{2}=0,8645450569 (produto direto ou usando log).
  • a^{4}=(a^{2})^{2}=0,74747695 (aprox.).
  • a^{8}=(a^{4})^{2}=0,5587218 (aprox.).
    Portanto
P(\text{nenhuma parada em 4 h})=(0,9298091736)^{8}\approx 0,55872.
Interpretação: cerca de 55{,}87\% de chance de passar 4 horas sem nenhuma parada.

Resposta

0,07019
0,55872

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