Uma empresa produz televisores de 2 tipos, tipo A (comum) e tipo B (luxo). Sabe-se que estes não apresentam defeito nos primeiros dois meses e a empresa garante a restituição da quantia paga se qualquer televisor apresentar defeito grave no prazo de cinco meses. O tempo para ocorrência de algum defeito grave nos televisores tem distribuição exponencial sendo que, no tipo A, com média de 10 meses e no tipo B, com média de 11 meses. Os televisores de tipo A e B são produzidos com lucro de 1500,00 [] e 2000,00 [] respectivamente e, caso haja restituição, com prejuízo de 2750,00 [] e 5000,00 [] respectivamente. Responda:
Qual a probabilidade de haver restituição nos televisores do tipo A e do tipo B ?;

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de haver restituição (garantia) para televisores dos tipos A e B. Dados fornecidos e pontos importantes:
  • O tempo até ocorrer um defeito grave tem distribuição exponencial.
  • Para o tipo A: média de 10 meses.
  • Para o tipo B: média de 11 meses.
  • Sabe‑se que não ocorrem defeitos nos primeiros 2 meses (ou seja, nenhum aparelho falha antes de 2 meses).
  • A garantia cobre restituição se houver defeito no prazo de 5 meses.
  • Pergunta: qual a probabilidade de restituição para um televisor do tipo A e para um do tipo B?

Passo 2

Vamos lembrar o que é a distribuição exponencial e as fórmulas que vamos usar (explicação didática passo a passo).
  • A variável aleatória T que representa o tempo até o defeito, quando é exponencial com parâmetro \lambda, tem função densidade e função distribuição:
f_T(t)=\lambda e^{-\lambda t},\quad t\ge 0,
F_T(t)=P(T\le t)=1-e^{-\lambda t}.
  • A média (valor esperado) da exponencial é
E[T]=\frac{1}{\lambda}.
Isto quer dizer que, se o enunciado diz “média =10 meses”, então \lambda=1/10 (unidades: meses^{-1}).

Passo 3

Calcular os parâmetros \lambda para cada tipo (mostrar passo a passo).
  • Para o tipo A: média \,10 meses, então
\lambda_A=\frac{1}{10}.
  • Para o tipo B: média \,11 meses, então
\lambda_B=\frac{1}{11}.

Passo 4

Identificar o evento de interesse e como calculá‑lo (explicação conceitual).
  • Sabemos que não há defeito nos primeiros 2 meses. A restituição acontece se o defeito ocorrer até 5 meses. Portanto, dado que não houve defeito até 2 meses, a restituição ocorre se o tempo de falha cair no intervalo (2,5].
  • Precisamos da probabilidade condicional
P(T\le 5 \mid T>2)=\frac{P(2<T\le 5)}{P(T>2)}=\frac{F_T(5)-F_T(2)}{1-F_T(2)}.
  • Para a exponencial existe a propriedade de falta de memória (memoryless): para qualquer s,t\ge0,
P(T>s+t\mid T>s)=P(T>t).
Aplicando com s=2 e t=3 (pois 5=2+3), obtemos a simplificação útil:
P(T\le5\mid T>2)=1-P(T>3)=1-e^{-\lambda\cdot 3}.
Ou seja, a probabilidade condicional depende somente do intervalo adicional de 3 meses após os 2 meses.

Passo 5

Aplicar a fórmula aos dois tipos e calcular valores (mostrar contas e explicar cada termo).
  • Para o tipo A:
P_A = 1-e^{-\lambda_A\cdot 3}=1-e^{-\frac{1}{10}\cdot 3}=1-e^{-3/10}.
Podemos dar uma aproximação decimal. Usando expansão de série ou uma aproximação padrão,
e^{-3/10}\approx 0,740818\quad\Rightarrow\quad P_A \approx 1-0,740818=0,259182.
Arredondando: P_A \approx 0,2592.
  • Para o tipo B:
P_B = 1-e^{-\lambda_B\cdot 3}=1-e^{-\frac{1}{11}\cdot 3}=1-e^{-3/11}.
Aproximando,
e^{-3/11}\approx 0,76130\quad\Rightarrow\quad P_B \approx 1-0,76130=0,23870.
Arredondando: P_B \approx 0,2387.
Dica prática para prova: em problemas com exponencial e “não ocorreu até s” seguido de “ocorre até s+t”, lembre‑se da falta de memória que transforma o cálculo em 1-e^{-\lambda t} — você só precisa da duração adicional t, não do tempo absoluto inicial.

Resposta

\text{Tipo A: }1-e^{-3/10}\approx 0,2592
\text{Tipo B: }1-e^{-3/11}\approx 0,2387

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