Uma empresa produz televisores de 2 tipos, tipo
(comum) e tipo
(luxo). Sabe-se que estes não apresentam defeito nos primeiros dois meses e a empresa garante a restituição da quantia paga se qualquer televisor apresentar defeito grave no prazo de cinco meses. O tempo para ocorrência de algum defeito grave nos televisores tem distribuição exponencial sendo que, no tipo
, com média de 10 meses e no tipo
, com média de 11 meses. Os televisores de tipo
e
são produzidos com lucro de 1500,00 [] e 2000,00 [] respectivamente e, caso haja restituição, com prejuízo de 2750,00 [] e 5000,00 [] respectivamente. Responda:
Qual a probabilidade de haver restituição nos televisores do tipo
e do tipo
?;
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de haver restituição (garantia) para televisores dos tipos
e
. Dados fornecidos e pontos importantes:
- O tempo até ocorrer um defeito grave tem distribuição exponencial.
- Para o tipo
: média de meses. - Para o tipo
: média de meses. - Sabe‑se que não ocorrem defeitos nos primeiros
meses (ou seja, nenhum aparelho falha antes de meses). - A garantia cobre restituição se houver defeito no prazo de
meses. - Pergunta: qual a probabilidade de restituição para um televisor do tipo
e para um do tipo ?
Passo 2
Vamos lembrar o que é a distribuição exponencial e as fórmulas que vamos usar (explicação didática passo a passo).
- A variável aleatória
que representa o tempo até o defeito, quando é exponencial com parâmetro , tem função densidade e função distribuição:
- A média (valor esperado) da exponencial é
Isto quer dizer que, se o enunciado diz “média
meses”, então
(unidades: meses^{-1}).
Passo 3
Calcular os parâmetros
para cada tipo (mostrar passo a passo).
- Para o tipo
: média meses, então
- Para o tipo
: média meses, então
Passo 4
Identificar o evento de interesse e como calculá‑lo (explicação conceitual).
- Sabemos que não há defeito nos primeiros
meses. A restituição acontece se o defeito ocorrer até meses. Portanto, dado que não houve defeito até meses, a restituição ocorre se o tempo de falha cair no intervalo . - Precisamos da probabilidade condicional
- Para a exponencial existe a propriedade de falta de memória (memoryless): para qualquer
,
Aplicando com
e
(pois
), obtemos a simplificação útil:
Ou seja, a probabilidade condicional depende somente do intervalo adicional de
meses após os
meses.
Passo 5
Aplicar a fórmula aos dois tipos e calcular valores (mostrar contas e explicar cada termo).
- Para o tipo
:
Podemos dar uma aproximação decimal. Usando expansão de série ou uma aproximação padrão,
Arredondando:
.
- Para o tipo
:
Aproximando,
Arredondando:
.
Dica prática para prova: em problemas com exponencial e “não ocorreu até
” seguido de “ocorre até
”, lembre‑se da falta de memória que transforma o cálculo em
— você só precisa da duração adicional
, não do tempo absoluto inicial.