Uma empresa produz televisores de 2 tipos, tipo A (comum) e tipo B (luxo). Sabe-se que estes não apresentam defeito nos primeiros dois meses e a empresa garante a restituição da quantia paga se qualquer televisor apresentar defeito grave no prazo de cinco meses. O tempo para ocorrência de algum defeito grave nos televisores tem distribuição exponencial sendo que, no tipo A, com média de 10 meses e no tipo B, com média de 11 meses. Os televisores de tipo A e B são produzidos com lucro de 1500,00 [] e 2000,00 [] respectivamente e, caso haja restituição, com prejuízo de 2750,00 [] e 5000,00 [] respectivamente. Responda:
Qual a receita média dos televisores do tipo A e dos televisores do tipo B ?.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a receita média (esperança do ganho) de um televisor do tipo A e de um televisor do tipo B.
Informações importantes dadas pelo enunciado:
  • Os televisores não apresentam defeito nos primeiros dois meses (ou seja, sabemos que o aparelho sobreviveu até t=2 meses).
  • A garantia cobre restituição se aparecer defeito grave no prazo de cinco meses (isto é, a empresa deve restituir se o defeito ocorrer até t=5 meses).
  • O tempo até o defeito grave tem distribuição exponencial.
  • Para o tipo A: média do tempo até defeito \,=10 meses.
  • Para o tipo B: média do tempo até defeito \,=11 meses.
  • Lucro (quando NÃO ocorre restituição): tipo A ganha \,1500{,}00 e tipo B ganha \,2000{,}00.
  • Prejuízo (quando HÁ restituição): tipo A tem prejuízo de \,2750{,}00 e tipo B de \,5000{,}00.
Observação essencial para resolver: como sabemos que não houve defeito nos primeiros 2 meses, devemos calcular a probabilidade de ocorrer defeito entre 2 e 5 meses, condicionada à sobrevivência até 2 meses. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Breve aula sobre a distribuição exponencial e propriedade que vamos usar (explicação bem didática):
  • A distribuição exponencial é usada para modelar tempos até um evento (aqui: defeito). Tem parâmetro de taxa \lambda>0. A densidade é \lambda e^{-\lambda t} para t\ge0.
  • A média (esperança) da exponencial é \,1/\lambda. Então, se a média é m, a taxa é \lambda = 1/m.
    Por exemplo, se a média é 10 meses, então \lambda = 1/10 = 0{,}1.
  • Propriedade importantíssima (e muito prática): a exponencial é “sem memória” (memoryless). Isso significa que, para s,t\ge0, P(T>s+t\mid T>s) = P(T>t).Em palavras: dado que o aparelho já sobreviveu s meses, a probabilidade de sobreviver mais t meses é a mesma que a de um aparelho novo sobreviver t meses.
  • Aplicação aqui: queremos P( \text{defeito em }(2,5] \mid \text{sobreviveu até }2)é. Pela sem-memória, isso é igual a P(T\le 3) quando T é uma exponencial com a mesma \lambda (pois estamos olhando os próximos 3 meses depois de 2).

Passo 3

Calcular a taxa \lambda para cada tipo a partir da média:
  • Para o tipo A: média =10 meses, então \lambda_A = \frac{1}{10} = 0{,}1.
  • Para o tipo B: média =11 meses, então \lambda_B = \frac{1}{11}\approx 0{,}090909\ldots

Passo 4

Usar a memória da exponencial para obter a probabilidade de restituição (probabilidade de defeito entre 2 e 5 meses, dado que sobreviveu até 2):
  • Em termos gerais, para taxa \lambda, p = P(\text{defeito em }(2,5] \mid T>2) = 1 - e^{-\lambda(5-2)} = 1 - e^{-3\lambda}.
  • Substituindo para o tipo A ( \lambda_A=0{,}1): p_A = 1 - e^{-3\cdot 0{,}1} = 1 - e^{-0{,}3}.
  • Substituindo para o tipo B ( \lambda_B=1/11): p_B = 1 - e^{-3/11}.

Passo 5

Calcular numericamente p_A e p_B (vou mostrar as contas para você conseguir replicar sem calculadora com aproximações razoáveis):
  • Para p_A: e^{-0{,}3} é aproximadamente 0{,}7408182207 (valor conhecido/ aproximado). Então p_A = 1 - 0{,}7408182207 \approx 0{,}2591817793.
  • Para p_B: e^{-3/11}=e^{-0{,}272727\ldots}. Usando expansão em série ou calculadora, obtemos aproximadamente e^{-3/11}\approx 0{,}7613013133. Então p_B = 1 - 0{,}7613013133 \approx 0{,}2386986867.

Passo 6

Modelar a receita (ganho) aleatória e escrever a esperança:
  • Seja R a receita de um televisor (para cada tipo). Há dois cenários:
    • Se não há restituição (ou seja, sem defeito até 5 meses), a receita é o lucro: para A é 1500, para B é 2000.
    • Se há restituição (defeito no prazo), a empresa tem prejuízo: para A é -2750, para B é -5000.
  • Assim a esperança é, em geral, E[R] = (1-p)\cdot (\text{lucro}) + p\cdot (\text{prejuízo}).íNote que o prejuízo já é número negativo, por isso multiplicamos diretamente.

Passo 7

Calcular a receita média para o tipo A passo a passo:
  • Usando p_A do Passo 5, lucro =1500 e prejuízo =-2750, E[R_A] = (1-p_A)\cdot 1500 + p_A\cdot (-2750).
  • Podemos reorganizar para facilitar a conta: E[R_A] = 1500 - p_A\,(1500+2750) = 1500 - p_A\cdot 4250.
  • Substituindo p_A\approx 0{,}2591817793: E[R_A] \approx 1500 - 4250\cdot 0{,}2591817793.Calcule o produto: 4250\cdot 0{,}2591817793 \approx 1101{,}5225626 — (ou diretamente usando os valores anteriores: 1500\cdot0{,}7408182207 -2750\cdot0{,}2591817793 dá o mesmo).
  • Então E[R_A] \approx 1500 - 1101{,}5225626 \approx 398{,}4774374.
  • Arredondando para centavos: \,398{,}48.

Passo 8

Calcular a receita média para o tipo B passo a passo:
  • Usando p_B do Passo 5, lucro =2000 e prejuízo =-5000, E[R_B] = (1-p_B)\cdot 2000 + p_B\cdot (-5000).
  • Reorganizando: E[R_B] = 2000 - p_B\,(2000+5000) = 2000 - 7000\,p_B.
  • Substituindo p_B\approx 0{,}2386986867: E[R_B] \approx 2000 - 7000\cdot 0{,}2386986867.Calcule o produto: 7000\cdot 0{,}2386986867 \approx 1670{,}8908069.
  • Então E[R_B] \approx 2000 - 1670{,}8908069 \approx 329{,}1091931.
  • Arredondando para centavos: \,329{,}11.

Resposta

\text{Receita média do tipo A} = 398{,}48é
\text{Receita média do tipo B} = 329{,}11é

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