Uma empresa produz televisores de 2 tipos, tipo
(comum) e tipo
(luxo). Sabe-se que estes não apresentam defeito nos primeiros dois meses e a empresa garante a restituição da quantia paga se qualquer televisor apresentar defeito grave no prazo de cinco meses. O tempo para ocorrência de algum defeito grave nos televisores tem distribuição exponencial sendo que, no tipo
, com média de 10 meses e no tipo
, com média de 11 meses. Os televisores de tipo
e
são produzidos com lucro de 1500,00 [] e 2000,00 [] respectivamente e, caso haja restituição, com prejuízo de 2750,00 [] e 5000,00 [] respectivamente. Responda:
Qual a receita média dos televisores do tipo
e dos televisores do tipo
?.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a receita média (esperança do ganho) de um televisor do tipo
e de um televisor do tipo
.
Informações importantes dadas pelo enunciado:
- Os televisores não apresentam defeito nos primeiros dois meses (ou seja, sabemos que o aparelho sobreviveu até
meses). - A garantia cobre restituição se aparecer defeito grave no prazo de cinco meses (isto é, a empresa deve restituir se o defeito ocorrer até
meses). - O tempo até o defeito grave tem distribuição exponencial.
- Para o tipo
: média do tempo até defeito meses. - Para o tipo
: média do tempo até defeito meses. - Lucro (quando NÃO ocorre restituição): tipo
ganha e tipo ganha . - Prejuízo (quando HÁ restituição): tipo
tem prejuízo de e tipo de .
Observação essencial para resolver: como sabemos que não houve defeito nos primeiros
meses, devemos calcular a probabilidade de ocorrer defeito entre
e
meses, condicionada à sobrevivência até
meses. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Breve aula sobre a distribuição exponencial e propriedade que vamos usar (explicação bem didática):
- A distribuição exponencial é usada para modelar tempos até um evento (aqui: defeito). Tem parâmetro de taxa
. A densidade é para . - A média (esperança) da exponencial é
. Então, se a média é , a taxa é .
Por exemplo, se a média émeses, então . - Propriedade importantíssima (e muito prática): a exponencial é “sem memória” (memoryless). Isso significa que, para
, Em palavras: dado que o aparelho já sobreviveu meses, a probabilidade de sobreviver mais meses é a mesma que a de um aparelho novo sobreviver meses. - Aplicação aqui: queremos
. Pela sem-memória, isso é igual a quando é uma exponencial com a mesma (pois estamos olhando os próximos meses depois de ).
Passo 3
Calcular a taxa
para cada tipo a partir da média:
- Para o tipo
: média meses, então - Para o tipo
: média meses, então
Passo 4
Usar a memória da exponencial para obter a probabilidade de restituição (probabilidade de defeito entre
e
meses, dado que sobreviveu até
):
- Em termos gerais, para taxa
, - Substituindo para o tipo
( ): - Substituindo para o tipo
( ):
Passo 5
Calcular numericamente
e
(vou mostrar as contas para você conseguir replicar sem calculadora com aproximações razoáveis):
- Para
: é aproximadamente (valor conhecido/ aproximado). Então - Para
: . Usando expansão em série ou calculadora, obtemos aproximadamente . Então
Passo 6
Modelar a receita (ganho) aleatória e escrever a esperança:
- Seja
a receita de um televisor (para cada tipo). Há dois cenários: - Se não há restituição (ou seja, sem defeito até
meses), a receita é o lucro: para é , para é . - Se há restituição (defeito no prazo), a empresa tem prejuízo: para
é , para é .
- Se não há restituição (ou seja, sem defeito até
- Assim a esperança é, em geral,
Note que o prejuízo já é número negativo, por isso multiplicamos diretamente.
Passo 7
Calcular a receita média para o tipo
passo a passo:
- Usando
do Passo 5, lucro e prejuízo , - Podemos reorganizar para facilitar a conta:
- Substituindo
: Calcule o produto: — (ou diretamente usando os valores anteriores: dá o mesmo). - Então
- Arredondando para centavos:
.
Passo 8
Calcular a receita média para o tipo
passo a passo:
- Usando
do Passo 5, lucro e prejuízo , - Reorganizando:
- Substituindo
: Calcule o produto: . - Então
- Arredondando para centavos:
.