Suponha que o Lucro Líquido (LL) de uma empresa para o próximo mês esteja entre o valor mínimo “a =12.000,00 [ $$ US]" e o valor máximo "b = 20.000,00 [\áUS]”. Além disso, temos informações suficientes para supor que o LL esteja concentrado em torno do valor médio do intervalo, isto é, em torno de " (a+b) / 2 ". Considere o LL como uma função de distribuição de probabilidade triangular. Qual a probabilidade do LL estar na faixa 14.000,00 e 18.000,00 [$US]? Assinale a resposta certa.
Escolha uma opção:
\bigcirc a. 75 \% \checkmark
\bigcirc b. 81,75 \%
\bigcirc c. 92,78 \%
\bigcirc d. 85 \%
\bigcirc e. 66 \%

Passo 1

O enunciado dá: o Lucro Líquido (LL) varia entre \,a=12000 e \,b=20000. Sabemos que a distribuição do LL é uma distribuição triangular com moda (pico) no ponto médio do intervalo, isto é em \,(a+b)/2. A pergunta é: qual a probabilidade do LL estar entre \,14000 e \,18000? Devemos responder escolhendo entre as alternativas dadas.

Passo 2

Primeiro calculemos a moda (o ponto onde o PDF atinge máximo). A moda é o ponto médio:
m=\frac{a+b}{2}=\frac{12000+20000}{2}=16000.
Como a moda está exatamente no meio, a distribuição triangular é simétrica em torno de \,m=16000.

Passo 3

Agora vamos obter a altura máxima do triângulo (valor do PDF no pico). A área total sob o PDF deve ser 1. Para um triângulo de base [a,b] e altura h,
\text{área}=\frac{1}{2}(b-a)h=1.á
Logo
h=\frac{2}{b-a}.
Substituindo \,b-a=20000-12000=8000,
h=\frac{2}{8000}=\frac{1}{4000}=0{,}00025.
Esse é o valor do PDF no ponto \,x=16000.

Passo 4

Visualização e estratégia: o PDF é um triângulo com base de comprimento \,8000 e pico de altura \,h em \,16000. A probabilidade pedida
P(14000\le X\le 18000)
é a área do triângulo entre \,x=14000 e \,x=18000. Como o triângulo é simétrico, essa área é igual a 1 menos a soma das áreas de dois triângulos menores (um à esquerda, entre \,12000 e \,14000, e outro à direita, entre \,18000 e \,20000).

Passo 5

Calculemos a base de cada um desses triângulos menores. À esquerda, a base é
14000-12000=2000.
À direita é igual por simetria:
20000-18000=2000.

Passo 6

Agora precisamos da altura (valor do PDF) no ponto \,x=14000. Como o triângulo cresce linearmente de 0 em x=a até h em x=m e 14000 está a metade do caminho entre 12000 e 16000 (distância 2000 de um total de 4000), o valor do PDF em 14000 é metade de h:
f(14000)=\frac{1}{2}h=\frac{1}{2}\cdot 0{,}00025=0{,}000125.
(Análogo no lado direito: f(18000)=0{,}000125.)

Passo 7

A área de cada pequeno triângulo (por exemplo o da esquerda) é
\text{área}_{\text{pequena}}=\frac{1}{2}\times\text{base}\times\text{altura}=\frac{1}{2}\times 2000\times 0{,}000125.á
Calculemos:
\frac{1}{2}\times 2000=1000,\qquad 1000\times 0{,}000125=0{,}125.
Logo cada triângulo pequeno tem área \,0{,}125.

Passo 8

A soma das duas áreas exteriores é
0{,}125+0{,}125=0{,}25.
Portanto a área central (a probabilidade desejada) é
1-0{,}25=0{,}75.
Em porcentagem isso é \,75\%.

Passo 9

Intuição rápida: o intervalo total tem largura \,8000. O intervalo pedido (de \,14000 a \,18000) tem largura \,4000 centrada no pico; geometricamente isso corresponde a retirar duas “pontinhas” que juntas somam 25\% da área total, ficando 75\% no centro.

Resposta

a. 75\%

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