Suponha que o Lucro Líquido (LL) de uma empresa para o próximo mês esteja entre o valor mínimo “a
[ $$
US]”. Além disso, temos informações suficientes para supor que o LL esteja concentrado em torno do valor médio do intervalo, isto é, em torno de "
". Considere o LL como uma função de distribuição de probabilidade triangular. Qual a probabilidade do LL estar na faixa
e
[$US]? Assinale a resposta certa.
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
O enunciado dá: o Lucro Líquido (LL) varia entre
e
. Sabemos que a distribuição do LL é uma distribuição triangular com moda (pico) no ponto médio do intervalo, isto é em
. A pergunta é: qual a probabilidade do LL estar entre
e
? Devemos responder escolhendo entre as alternativas dadas.
Passo 2
Primeiro calculemos a moda (o ponto onde o PDF atinge máximo). A moda é o ponto médio:
Como a moda está exatamente no meio, a distribuição triangular é simétrica em torno de
.
Passo 3
Agora vamos obter a altura máxima do triângulo (valor do PDF no pico). A área total sob o PDF deve ser
. Para um triângulo de base
e altura
,
Logo
Substituindo
,
Esse é o valor do PDF no ponto
.
Passo 4
Visualização e estratégia: o PDF é um triângulo com base de comprimento
e pico de altura
em
. A probabilidade pedida
é a área do triângulo entre
e
. Como o triângulo é simétrico, essa área é igual a
menos a soma das áreas de dois triângulos menores (um à esquerda, entre
e
, e outro à direita, entre
e
).
Passo 5
Calculemos a base de cada um desses triângulos menores. À esquerda, a base é
À direita é igual por simetria:
Passo 6
Agora precisamos da altura (valor do PDF) no ponto
. Como o triângulo cresce linearmente de
em
até
em
e
está a metade do caminho entre
e
(distância
de um total de
), o valor do PDF em
é metade de
:
(Análogo no lado direito:
.)
Passo 7
A área de cada pequeno triângulo (por exemplo o da esquerda) é
Calculemos:
Logo cada triângulo pequeno tem área
.
Passo 8
A soma das duas áreas exteriores é
Portanto a área central (a probabilidade desejada) é
Em porcentagem isso é
.
Passo 9
Intuição rápida: o intervalo total tem largura
. O intervalo pedido (de
a
) tem largura
centrada no pico; geometricamente isso corresponde a retirar duas “pontinhas” que juntas somam
da área total, ficando
no centro.
Resposta
a.