Em determinado setor de uma loja de departamentos, o número de produtos vendidos em um dia pelos funcionários é uma variável aleatória P com a seguinte distribuição de probabilidades (esses números foram obtidos dos resultados de vários anos de estudo):
Número de produtos
0
1
2
3
4
5
6
Probabilidade de venda
0,1
0,4
0,2
0,1
0,1
0,05
0,05
| Número de produtos | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Probabilidade de venda | 0,1 | 0,4 | 0,2 | 0,1 | 0,1 | 0,05 | 0,05 |
Passo 1
O enunciado dá a distribuição de probabilidade da variável aleatória
(número de produtos vendidos num dia). As informações fornecidas (tiradas da tabela do enunciado) são:
- Suporte de
: . - Probabilidades:
, , , , , , .
Como o enunciado não fez perguntas explícitas, vou resolver os itens que normalmente se pedem numa questão desse tipo e que são úteis na prova:
- Verificar que é uma distribuição válida (soma das probabilidades).
- Calcular o valor esperado
e explicar o que ele significa. - Calcular
, a variância e o desvio padrão , explicando as fórmulas. - Determinar a moda e a mediana.
- Calcular algumas probabilidades acumuladas úteis:
e .
Passo 2
Verificação da distribuição (soma das probabilidades).
A condição para ser uma distribuição de probabilidade discreta é que as probabilidades sejam não-negativas e somem 1. Vamos somar:
A condição para ser uma distribuição de probabilidade discreta é que as probabilidades sejam não-negativas e somem 1. Vamos somar:
Somando em pedaços:
Resultado: a soma é
. Logo a distribuição é válida.
Passo 3
Definição e cálculo do valor esperado
.
- Definição: para uma variável discreta
com valores e probabilidades , o valor esperado é
onde
é cada valor possível e
a probabilidade correspondente. Intuição: é a média ponderada dos valores, ponderada pelas probabilidades — o “valor médio” que se espera em muitos dias.
Vamos calcular termo a termo (pegando os pares da tabela):
Somando:
Portanto
. Interpretação curta: em média espera-se vender cerca de
produtos por dia.
Passo 4
Cálculo de
(necessário para a variância).
- Definição:
. Isso é a média ponderada dos quadrados dos valores.
Calculemos termo a termo:
Somando:
Portanto
.
Passo 5
Fórmula e cálculo da variância
.
- Definição:
. Uma forma prática de calcular é usar
onde
e
já foram calculados.
Substituindo os valores que obtivemos:
Calcule
:
Então
Interpretação: a variância mede a dispersão dos números de vendas em torno da média; quanto maior, mais dispersos.
Passo 6
Cálculo do desvio padrão
.
- Definição: o desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Aproximação numérica:
(um pouco acima de
), então
é um pouco menor que
. Calculando com mais precisão obtém-se
Interpretação: em média as vendas diárias desviam-se cerca de
produtos em relação à média
.
Passo 7
Moda (valor mais provável) e mediana.
-
Moda: é o valor com maior probabilidade. Olhando as probabilidades dadas, o maior valor é
em . Portanto a moda é . -
Mediana: é um valor
tal que e . Calculamos a função de distribuição acumulada:
Como
alcança
, a mediana discreta pode ser tomada como
. (Convenção: o menor
com
é
.)
Passo 8
Cálculo de algumas probabilidades acumuladas solicitadas.
Passo 9
Resumo e interpretação rápida para a hora da prova:
- Sempre comece verificando se as probabilidades somam
. - Para
faça a soma dos ; para some . - Use
para evitar calcular a média dos quadrados dos desvios pela definição direta. - Moda é o maior
; mediana em discreto é o menor com . - Probabilidades acumuladas somam probabilidades pontuais correspondentes.
Você está indo bem — com esse passo a passo dá pra resolver rápido numa prova. Boa sorte!
Resposta
Moda:
Mediana: