Em determinado setor de uma loja de departamentos, o número de produtos vendidos em um dia pelos funcionários é uma variável aleatória P com a seguinte distribuição de probabilidades (esses números foram obtidos dos resultados de vários anos de estudo):
Número de produtos 0 1 2 3 4 5 6
Probabilidade de venda 0,1 0,4 0,2 0,1 0,1 0,05 0,05

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de probabilidade da variável aleatória P (número de produtos vendidos num dia). As informações fornecidas (tiradas da tabela do enunciado) são:
  • Suporte de P: \{0,1,2,3,4,5,6\}.
  • Probabilidades: \mathbb{P}(P=0)=0,1, \mathbb{P}(P=1)=0,4, \mathbb{P}(P=2)=0,2, \mathbb{P}(P=3)=0,1, \mathbb{P}(P=4)=0,1, \mathbb{P}(P=5)=0,05, \mathbb{P}(P=6)=0,05.
Como o enunciado não fez perguntas explícitas, vou resolver os itens que normalmente se pedem numa questão desse tipo e que são úteis na prova:
  • Verificar que é uma distribuição válida (soma das probabilidades).
  • Calcular o valor esperado \mathbb{E}[P] e explicar o que ele significa.
  • Calcular \mathbb{E}[P^{2}], a variância \mathrm{Var}(P) e o desvio padrão \sigma_P, explicando as fórmulas.
  • Determinar a moda e a mediana.
  • Calcular algumas probabilidades acumuladas úteis: \mathbb{P}(P\le 2) e \mathbb{P}(P\ge 4).

Passo 2

Verificação da distribuição (soma das probabilidades).
A condição para ser uma distribuição de probabilidade discreta é que as probabilidades sejam não-negativas e somem 1. Vamos somar:
0,1+0,4+0,2+0,1+0,1+0,05+0,05.
Somando em pedaços:
0,1+0,4=0,5,\quad 0,5+0,2=0,7,\quad 0,7+0,1=0,8,
0,8+0,1=0,9,\quad 0,9+0,05=0,95,\quad 0,95+0,05=1,0.
Resultado: a soma é 1,0. Logo a distribuição é válida.

Passo 3

Definição e cálculo do valor esperado \mathbb{E}[P].
  • Definição: para uma variável discreta P com valores x_i e probabilidades p_i=\mathbb{P}(P=x_i), o valor esperado é
\mathbb{E}[P]=\sum_i x_i p_i,
onde x_i é cada valor possível e p_i a probabilidade correspondente. Intuição: é a média ponderada dos valores, ponderada pelas probabilidades — o “valor médio” que se espera em muitos dias.
Vamos calcular termo a termo (pegando os pares da tabela):
0\cdot0,1=0, \qquad 1\cdot0,4=0,4, \qquad 2\cdot0,2=0,4,
3\cdot0,1=0,3, \qquad 4\cdot0,1=0,4, \qquad 5\cdot0,05=0,25, \qquad 6\cdot0,05=0,30.
Somando:
0+0,4+0,4+0,3+0,4+0,25+0,30 = 2,05.
Portanto \mathbb{E}[P]=2,05. Interpretação curta: em média espera-se vender cerca de 2,05 produtos por dia.

Passo 4

Cálculo de \mathbb{E}[P^{2}] (necessário para a variância).
  • Definição: \mathbb{E}[P^{2}]=\sum_i x_i^{2} p_i. Isso é a média ponderada dos quadrados dos valores.
Calculemos termo a termo:
0^{2}\cdot0,1=0, \qquad 1^{2}\cdot0,4=0,4, \qquad 2^{2}\cdot0,2=4\cdot0,2=0,8,
3^{2}\cdot0,1=9\cdot0,1=0,9, \qquad 4^{2}\cdot0,1=16\cdot0,1=1,6,
5^{2}\cdot0,05=25\cdot0,05=1,25, \qquad 6^{2}\cdot0,05=36\cdot0,05=1,80.
Somando:
0+0,4+0,8+0,9+1,6+1,25+1,80 = 6,75.
Portanto \mathbb{E}[P^{2}]=6,75.

Passo 5

Fórmula e cálculo da variância \mathrm{Var}(P).
  • Definição: \mathrm{Var}(P)=\mathbb{E}\big[(P-\mathbb{E}[P])^{2}\big]. Uma forma prática de calcular é usar
\mathrm{Var}(P)=\mathbb{E}[P^{2}]-(\mathbb{E}[P])^{2},
onde \mathbb{E}[P^{2}] e \mathbb{E}[P] já foram calculados.
Substituindo os valores que obtivemos:
\mathrm{Var}(P)=6,75-(2,05)^{2}.
Calcule (2,05)^{2}:
(2,05)^{2}=2,05\cdot2,05=4,2025.
Então
\mathrm{Var}(P)=6,75-4,2025=2,5475.
Interpretação: a variância mede a dispersão dos números de vendas em torno da média; quanto maior, mais dispersos.

Passo 6

Cálculo do desvio padrão \sigma_P.
  • Definição: o desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
\sigma_{P}=\sqrt{\mathrm{Var}(P)}=\sqrt{2,5475}.
Aproximação numérica: 1,6^{2}=2,56 (um pouco acima de 2,5475), então \sigma_{P} é um pouco menor que 1,6. Calculando com mais precisão obtém-se
\sigma_{P}\approx1,597.
Interpretação: em média as vendas diárias desviam-se cerca de 1,597 produtos em relação à média 2,05.

Passo 7

Moda (valor mais provável) e mediana.
  • Moda: é o valor com maior probabilidade. Olhando as probabilidades dadas, o maior valor é 0,4 em P=1. Portanto a moda é 1.
  • Mediana: é um valor m tal que \mathbb{P}(P\le m)\ge 0,5 e \mathbb{P}(P\ge m)\ge 0,5. Calculamos a função de distribuição acumulada:
\mathbb{P}(P\le 0)=0,1, \qquad \mathbb{P}(P\le 1)=0,1+0,4=0,5.
Como \mathbb{P}(P\le 1)=0,5 alcança 0,5, a mediana discreta pode ser tomada como 1. (Convenção: o menor m com \mathbb{P}(P\le m)\ge0,5 é 1.)

Passo 8

Cálculo de algumas probabilidades acumuladas solicitadas.
  • \mathbb{P}(P\le 2)=\mathbb{P}(P=0)+\mathbb{P}(P=1)+\mathbb{P}(P=2)=0,1+0,4+0,2=0,7.
  • \mathbb{P}(P\ge 4)=\mathbb{P}(P=4)+\mathbb{P}(P=5)+\mathbb{P}(P=6)=0,1+0,05+0,05=0,2.

Passo 9

Resumo e interpretação rápida para a hora da prova:
  • Sempre comece verificando se as probabilidades somam 1.
  • Para \mathbb{E}[P] faça a soma dos x\cdot p(x); para \mathbb{E}[P^{2}] some x^{2}\cdot p(x).
  • Use \mathrm{Var}(P)=\mathbb{E}[P^{2}]-(\mathbb{E}[P])^{2} para evitar calcular a média dos quadrados dos desvios pela definição direta.
  • Moda é o maior p(x); mediana em discreto é o menor m com \mathbb{P}(P\le m)\ge0,5.
  • Probabilidades acumuladas somam probabilidades pontuais correspondentes.
Você está indo bem — com esse passo a passo dá pra resolver rápido numa prova. Boa sorte!

Resposta

\mathbb{E}[P]=2,05
\mathbb{E}[P^{2}]=6,75
\mathrm{Var}(P)=2,5475
\sigma_{P}\approx1,597
Moda: 1
Mediana: 1
\mathbb{P}(P\le 2)=0,7
\mathbb{P}(P\ge 4)=0,2

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