1. Na produção de uma peça são empregadas 2 máquinas. A primeira é utilizada para efetivamente produzir as peças e o custo de produção é de \mathrm{R} \ 50,00 por peça. Das peças produzidas nessa máquina,ççá90 % são perfeitas. As peças defeituosas são colocadas na segunda máquina para a tentativa de recuperação. Nessa segunda máquina o custo de produção é deãçãáçãáçãé\mathrm{R} $25,00 mas apenas60 % das peças são de fato recuperadas. Cada peça perfeita é vendida porçãçé\mathrm{R} $ 90,00 e cada peça defeituosa é vendida porçé\mathrm{R} $20,00$. Seja L o lucro por peça. Obtenha:
    (a) a função de distribuição de probabilidades de L ;
    (b) a função de distribuição acumulada de L;
    (c) o lucro esperado por peça;
    (d) a variância do lucro.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido (tudo o que segue entre parênteses e números foi tirado do enunciado).
  • O enunciado define a variável aleatória L como o lucro por peça (em reais).
  • Dados do processo (peguei estes números do enunciado):
    • Custo na primeira máquina: \text{R\$ }50 por peça.
    • Proporção de peças perfeitas produzidas na primeira máquina: 90\%.
    • Peças defeituosas da primeira máquina (portanto 10\%) vão para a segunda máquina.
    • Custo na segunda máquina (para cada peça que é processada lá): \text{R\$ }25.
    • Taxa de recuperação na segunda máquina: 60\% das peças que entram nela são recuperadas.
    • Preço de venda de cada peça perfeita: \text{R\$ }90.
    • Preço de venda de cada peça defeituosa: \text{R\$ }20.
  • O que é pedido:
    (a) a função de distribuição de probabilidades (pmf) de L;
    (b) a função de distribuição acumulada (CDF) de L;
    (c) o lucro esperado por peça E[L];
    (d) a variância \operatorname{Var}(L).

Passo 2

Identificar os possíveis cenários (resultados) para cada peça e calcular as probabilidades de cada cenário, usando a regra de probabilidades para eventos sequenciais (quando um evento ocorre depois de outro, multiplicam-se as probabilidades se forem independentes ou condicionais apropriadas).
Os caminhos possíveis para uma peça:
  1. Peça perfeita já na primeira máquina. Probabilidade: 0{,}9.
  2. Peça defeituosa na primeira (probabilidade 0{,}1) e então recuperada na segunda (probabilidade 0{,}6 dado que ela foi enviada). Probabilidade conjunta: 0{,}1\times0{,}6.
  3. Peça defeituosa na primeira (probabilidade 0{,}1) e não recuperada na segunda (probabilidade 0{,}4). Probabilidade conjunta: 0{,}1\times0{,}4.
Calcular numericamente:
\begin{aligned} P(\text{perfeita na 1ª}) &= 0{,}9,\\[4pt] P(\text{defeituosa na 1ª e recuperada}) &= 0{,}1\times0{,}6 = 0{,}06,\\[4pt] P(\text{defeituosa na 1ª e não recuperada}) &= 0{,}1\times0{,}4 = 0{,}04. \end{aligned}ªªªã
Verificação rápida: 0{,}9 + 0{,}06 + 0{,}04 = 1{,}00. Então cobrimos todos os casos.]

Passo 3

Calcular o lucro L em cada cenário. Lembrando que lucro = receita − custo total gasto até a venda.
Cenário 1: peça perfeita já na primeira máquina.
  • Receita: \text{R\$ }90.
  • Custo: \text{R\$ }50.
  • Lucro: \,L=\text{R\$}90-\text{R\$ }50=\text{R\$ }40.
Cenário 2: peça defeituosa na 1ª, enviada e recuperada na 2ª.
  • Receita (recuperada considerada perfeita): \text{R\$ }90.
  • Custo total: \text{R\$}50+\text{R\$ }25=\text{R\$ }75.
  • Lucro: \,L=\text{R\$}90-\text{R\$ }75=\text{R\$ }15.
Cenário 3: peça defeituosa na 1ª, enviada e não recuperada na 2ª (vende-se como defeituosa).
  • Receita: \text{R\$ }20.
  • Custo total: \text{R\$ }75 (mesmo gasto na 1ª e 2ª máquinas).
  • Lucro: \,L=\text{R\$}20-\text{R\$ }75=\text{R\$ }-55.
Resumo (valores de L e probabilidades obtidas nos passos anteriores):
  • L=\text{R\$ }40 com probabilidade 0{,}9.
  • L=\text{R\$ }15 com probabilidade 0{,}06.
  • L=\text{R\$ }-55 com probabilidade 0{,}04.

Passo 4

Montar a função de distribuição de probabilidades (pmf) de L. A pmf dá P(L=\ell) para cada valor possível \ell.
Portanto:
\begin{aligned} P\bigl(L=\text{R\$ }40\bigr) &= 0{,}9,\\[4pt] P\bigl(L=\text{R\$ }15\bigr) &= 0{,}06,\\[4pt] P\bigl(L=\text{R\$ }-55\bigr) &= 0{,}04. \end{aligned}
Checagem: 0{,}9+0{,}06+0{,}04=1{,}00, então está consistente.]

Passo 5

Construir a função de distribuição acumulada (CDF) F_L(x)=P(L\le x) com base na pmf discreta. Vou listar F_L(x) por intervalos de x.
  • Para x<\text{R\$ }-55:
F_L(x)=0.
  • Para \text{R\$}-55 \le x < \text{R\$ }15:
F_L(x)=P(L\le \text{R\$}-55)=P\bigl(L=\text{R\$ }-55\bigr)=0{,}04.
  • Para \text{R\$}15 \le x < \text{R\$ }40:
F_L(x)=P(L\le \text{R\$ }15)=0{,}04+0{,}06=0{,}10.
  • Para x \ge \text{R\$ }40:
F_L(x)=1{,}00.

Passo 6

Calcular o lucro esperado E[L]. Para variável discreta,
E[L]=\sum_{\ell}\ell\;P(L=\ell).
Aplicando aos três valores:
Contribuições:
\begin{aligned} \text{R\$}40\cdot 0{,}9 &= \text{R\$ }36{,}0,\\[4pt] \text{R\$}15\cdot 0{,}06 &= \text{R\$ }0{,}90,\\[4pt] \text{R\$}(-55)\cdot 0{,}04 &= \text{R\$ }-2{,}20. \end{aligned}
Somando:
E[L]=36{,}0+0{,}90-2{,}20=\text{R\$ }34{,}70.
Interpretação curta: em média, cada peça rende \text{R\$ }34{,}70 de lucro.]

Passo 7

Calcular a variância \operatorname{Var}(L). Vou usar a fórmula
\operatorname{Var}(L)=E\bigl[L^{2}\bigr]-\bigl(E[L]\bigr)^{2}.
Primeiro calculo E[L^{2}]:
\begin{aligned} (\text{R\$ }40)^{2}\cdot 0{,}9 &= 1600\cdot 0{,}9 = 1440{,}0,\\[4pt] (\text{R\$ }15)^{2}\cdot 0{,}06 &= 225\cdot 0{,}06 = 13{,}5,\\[4pt] (\text{R\$ }-55)^{2}\cdot 0{,}04 &= 3025\cdot 0{,}04 = 121{,}0. \end{aligned}
Somando:
E\bigl[L^{2}\bigr]=1440{,}0 + 13{,}5 + 121{,}0 = 1574{,}5.
Já temos E[L]=\text{R\$ }34{,}70. Então
\bigl(E[L]\bigr)^{2} = (34{,}70)^{2} = 1204{,}09.
Portanto a variância é
\operatorname{Var}(L)=1574{,}5 - 1204{,}09 = 370{,}41.
Unidade: \text{(R\$)}^{2}. (Se quiser o desvio padrão, seria \sqrt{370{,}41}\approx 19{,}26, mas o enunciado pediu só a variância.)]

Resposta

(a) [P\bigl(L=R$40\bigr)=0{,}9,\quad P\bigl(L=R$15\bigr)=0{,}06,\quad P\bigl(L=R$-55\bigr)=0{,}04.)
(b) F_L(x)=\begin{cases} 0, & x<\text{R\$ }-55,\\[4pt] 0{,}04, & \text{R\$}-55 \le x < \text{R\$ }15,\\[4pt] 0{,}10, & \text{R\$}15 \le x < \text{R\$ }40,\\[4pt] 1{,}00, & x\ge \text{R\$ }40. \end{cases}
(c) (E[L]=R$34{,}70.]
(d) \operatorname{Var}(L)=370{,}41.]

Exercícios relacionados