Na produção de uma peça são empregadas 2 máquinas. A primeira é utilizada para efetivamente produzir as peças e o custo de produção é de \mathrm{R} \ 50,00por peça. Das peças produzidas nessa máquina,90 %são perfeitas. As peças defeituosas são colocadas na segunda máquina para a tentativa de recuperação. Nessa segunda máquina o custo de produção é de\mathrm{R} $25,00mas apenas60 %das peças são de fato recuperadas. Cada peça perfeita é vendida por\mathrm{R} $ 90,00e cada peça defeituosa é vendida por\mathrm{R} $20,00$. Seja L o lucro por peça. Obtenha:
(a) a função de distribuição de probabilidades de L ;
(b) a função de distribuição acumulada de L;
(c) o lucro esperado por peça;
(d) a variância do lucro.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido (tudo o que segue entre parênteses e números foi tirado do enunciado).
O enunciado define a variável aleatória L como o lucro por peça (em reais).
Dados do processo (peguei estes números do enunciado):
Custo na primeira máquina: \text{R\$ }50 por peça.
Proporção de peças perfeitas produzidas na primeira máquina: 90\%.
Peças defeituosas da primeira máquina (portanto 10\%) vão para a segunda máquina.
Custo na segunda máquina (para cada peça que é processada lá): \text{R\$ }25.
Taxa de recuperação na segunda máquina: 60\% das peças que entram nela são recuperadas.
Preço de venda de cada peça perfeita: \text{R\$ }90.
Preço de venda de cada peça defeituosa: \text{R\$ }20.
O que é pedido:
(a) a função de distribuição de probabilidades (pmf) de L;
(b) a função de distribuição acumulada (CDF) de L;
(c) o lucro esperado por peça E[L];
(d) a variância \operatorname{Var}(L).
Passo 2
Identificar os possíveis cenários (resultados) para cada peça e calcular as probabilidades de cada cenário, usando a regra de probabilidades para eventos sequenciais (quando um evento ocorre depois de outro, multiplicam-se as probabilidades se forem independentes ou condicionais apropriadas).
Os caminhos possíveis para uma peça:
Peça perfeita já na primeira máquina. Probabilidade: 0{,}9.
Peça defeituosa na primeira (probabilidade 0{,}1) e então recuperada na segunda (probabilidade 0{,}6 dado que ela foi enviada). Probabilidade conjunta: 0{,}1\times0{,}6.
Peça defeituosa na primeira (probabilidade 0{,}1) e não recuperada na segunda (probabilidade 0{,}4). Probabilidade conjunta: 0{,}1\times0{,}4.
Calcular numericamente:
\begin{aligned} P(\text{perfeita na 1ª}) &= 0{,}9,\\[4pt] P(\text{defeituosa na 1ª e recuperada}) &= 0{,}1\times0{,}6 = 0{,}06,\\[4pt] P(\text{defeituosa na 1ª e não recuperada}) &= 0{,}1\times0{,}4 = 0{,}04. \end{aligned}
Verificação rápida: 0{,}9 + 0{,}06 + 0{,}04 = 1{,}00. Então cobrimos todos os casos.]
Passo 3
Calcular o lucro L em cada cenário. Lembrando que lucro = receita − custo total gasto até a venda.