Um determinado sinal f(t)=e^{-3 t} u(t). Determine f(t) e o espectro de frequência (a transformada de Fourier) de:
m(t)=f(t) * \operatorname{sen}(300 t)

Passo 1

O enunciado define
f(t)=e^{-3t}u(t)
e pede para calcular o sinal
m(t)=\bigl[f * \sin(300t)\bigr](t)
e seu espectro de frequência, ou seja, \mathcal{F}\{m(t)\}=M(\omega).
Para isso vamos:
  1. usar a integral de convolução para obter m(t) no domínio do tempo;
  2. usar a propriedade \mathcal{F}\{f * g\} = F(\omega)\,G(\omega) para obter M(\omega).

Passo 2

Calculando m(t) pela convolução:
m(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)\,\sin\bigl(300(t-\tau)\bigr)\,d\tau =\int_{0}^{t}e^{-3\tau}\,\sin\bigl(300(t-\tau)\bigr)\,d\tau,
pois f(\tau)=0 para \tau<0 e \sin(300(t-\tau))=0 para \tau>t.
Fazendo a mudança de variável \beta=t-\tau ou integrando direto, usa-se a fórmula
\int e^{a\tau}\sin(b\tau)\,d\tau =\frac{e^{a\tau}\bigl(a\sin(b\tau)-b\cos(b\tau)\bigr)}{a^{2}+b^{2}}.
Isso leva a
m(t) =\frac{1}{90009}\Bigl[\,3\sin(300t)-300\cos(300t)+300e^{-3t}\Bigr]\,u(t).

Passo 3

Agora as transformadas de Fourier:
F(\omega)=\mathcal{F}\{e^{-3t}u(t)\} =\frac{1}{3+j\omega},
\mathcal{F}\{\sin(300t)\} =\frac{\pi}{j}\bigl[\delta(\omega-300)-\delta(\omega+300)\bigr].
Pela propriedade da convolução,
M(\omega)=F(\omega)\;\cdot\;\mathcal{F}\{\sin(300t)\}.

Passo 4

Multiplicando em frequência:
M(\omega) =\frac{1}{3+j\omega}\;\frac{\pi}{j}\Bigl[\delta(\omega-300)-\delta(\omega+300)\Bigr] =\frac{\pi}{j}\Bigl[\frac{\delta(\omega-300)}{3+j\,300}-\frac{\delta(\omega+300)}{3-j\,300}\Bigr].

Resposta

m(t) no domínio do tempo:
m(t) =\frac{1}{90009}\Bigl[\,3\sin(300t)-300\cos(300t)+300e^{-3t}\Bigr]\,u(t).
Espectro de frequência M(\omega):
M(\omega) =\frac{\pi}{j}\Bigl[\frac{\delta(\omega-300)}{3+j\,300} -\frac{\delta(\omega+300)}{3-j\,300}\Bigr].

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