Utilize a transformada de Fourier da derivada e a transformada de t^{n} f(t) para determinar a transformada da função f(t)=e^{-\frac{x^{2}}{2}}.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier da função
f(t)=e^{-\frac{t^{2}}{2}},
usando as propriedades de transformada de derivada e de multiplicação por t^{n}. O conteúdo é o uso das seguintes fórmulas:
\mathcal{F}\{f'(t)\}(\omega)=i\omega\,\hat f(\omega), \quad \mathcal{F}\{t\,f(t)\}(\omega)=i\,\frac{d}{d\omega}\hat f(\omega),
onde
\hat f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\,dt
é nossa convenção de transformada de Fourier.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de f(t):
f'(t)=\frac{d}{dt}e^{-\frac{t^{2}}{2}} =-t\,e^{-\frac{t^{2}}{2}} =-t\,f(t).
Logo
t\,f(t)=-f'(t).

Passo 3

Aplicamos a transformada em cada lado de t\,f(t)=-f'(t). De um lado:
\mathcal{F}\{t\,f(t)\}(\omega) =i\,\frac{d}{d\omega}\hat f(\omega).
Do outro lado:
\mathcal{F}\{-f'(t)\}(\omega) =-\mathcal{F}\{f'(t)\}(\omega) =-\bigl(i\omega\,\hat f(\omega)\bigr).
Portanto temos a relação
i\,\frac{d}{d\omega}\hat f(\omega) =-i\omega\,\hat f(\omega).

Passo 4

Reescrevendo a igualdade obtemos uma equação diferencial para \hat f(\omega):
\frac{d}{d\omega}\hat f(\omega) =-\omega\,\hat f(\omega).
Esta é uma EDO de primeira ordem com solução
\hat f(\omega)=C\,e^{-\frac{\omega^{2}}{2}},
onde C é constante de integração.

Passo 5

Para achar C, usamos \omega=0:
\hat f(0) =\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{t^{2}}{2}}\,dt =\sqrt{2\pi}.
Logo
C=\sqrt{2\pi} \quad\Longrightarrow\quad \hat f(\omega)=\sqrt{2\pi}\,e^{-\frac{\omega^{2}}{2}}.

Resposta

A transformada de Fourier de f(t)=e^{-\frac{t^{2}}{2}} é
\boxed{\hat f(\omega)=\sqrt{2\pi}\,e^{-\frac{\omega^{2}}{2}}.}

Exercícios relacionados