Utilize a transformada de Fourier da derivada e a transformada de
para determinar a transformada da função
.
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Fourier da função
usando as propriedades de transformada de derivada e de multiplicação por
. O conteúdo é o uso das seguintes fórmulas:
onde
é nossa convenção de transformada de Fourier.
Passo 2
Primeiro calculamos a derivada de
:
Logo
Passo 3
Aplicamos a transformada em cada lado de
. De um lado:
Do outro lado:
Portanto temos a relação
Passo 4
Reescrevendo a igualdade obtemos uma equação diferencial para
:
Esta é uma EDO de primeira ordem com solução
onde
é constante de integração.
Passo 5
Para achar
, usamos
:
Logo
Resposta
A transformada de Fourier de
é